10. Распределение Пирсона

?² ( кси-квадрат) распределение Пирсона .

Для корректного выполнение процесса измерение при реальных n наблюдениях с нормальным распределением погрешностей необходимо также найти доверительный интервал для генеральной дисперсии D[X] при заданной доверительный достоверности Р.Если распределение результатов наблюдений есть нормальным , то отношение точечной дисперсии D[ ] к генеральной дисперсии D[X] называют ?² ( ксі-квадрат) распределением Пирсона. При переходе к среднему квадратичного ? имеем определение :

?²_k = ?²_n-1 = ; (57)

где k= n-1 число степеней свободы распределения , на единицу уменьшенное против числа наблюдений на основании которой определяется оценка sx² дисперсии результатов. Его дифференциальная функция распределения определяется формулой :

:

В этой формуле k- число степеней свободы , ? –аргумент (отношение точечной и генеральной дисперсий).Это распределение есть несимметричному .Максимальное значение плотности ?² –распределения Пирсона не совпадает с математическим ожиданием и имеет место при ?²=k-2.

Кривые плотности ?² –распределения , вычисленные с помощью Mathcad ,приведенные на рис.15

Рис.15

Поскольку отношение ?²_k существенно положительно , то кривая его интегрального распределения начинается из нуля при ?²_k=0 и имеет вид:

F(?²_k) = = ; (59)

Кривые функции интегрального распределения , построенные с помощью пакету Mathcad приведенные на рис.16

Рис.16

Пользуясь выше обозначенными зависимостями можно найти доверительный интервал для оценки дисперсии результатов наблюдений при заданной доверительный достоверности. Этот интервал строится таким образом, чтобы достоверность выхода дисперсии за его границы не превышала некоторой малой величины q (т.из коэффициента значимости). При этом вероятности выхода за обе границы интервала были бы равными между собой и составляли соответственно . Границы и такого доверительного интервала находят из уравнения :

F( ) = ; F( ) = 1- ;

В таком случае, узнавая границы доверительного интервала для отношения ?²_k ,можно построить доверительный интервал для дисперсии:

P <? == P > ?²_X ? =1-q

и соответственно :

P > ?X ? = 1-q (60)

Полученное уравнение означает, что с достоверностью ? =1-q истинное значение ?x среднего квадратичного отклонения результатов наблюдений лежит в интервале (sx_{1 ;} sx₂), границы которого

равняются:

; = . (61)