вход Вход Регистрация



3.1. Понятие о стойкости систем автоматического регулирования

Как мы видели выше, в простейших случаях системы автоматического регулирования описываются уравнениями не выше третьего порядка, и уравнение регулирования может быть решено в общем виде до конца. Итак, в такой системе всегда может быть построенный переходной процес., найденные степень его затухания, условия достижения границы аппериодичности, максимальное отклонение регулированной величины, неравномерность и продолжительность регулирования.

Однако любое осложнение как регулированного объекта, так и регулятора, ведет к осложнению и уравнениям процесса регулирования. В более сложных системах, описываемых уравнениями выше четвертого порядка, полное решение уравнений часто представляет значительных трудностей. С другой стороны, уже с описанного выше видная склонность систем регулирования к колебательному режиму работы. Именно поэтому возникает необходимость в первую очередь определить хотя бы характер переходного процесса и решить задачу о стойкости системы автоматического регулирования.

Система называется стойкой, если она после снятия возбуждения возвращается к состояния равновесия. Если в ней после снятия возбуждения возникают незатухающие колебания, то говорят, что система находится на границе стойкости.

Таким образом, стойкая система после снятия возбуждения (рисунок 3.1, а) с затуханием (кривая 1) апериодически ли (кривая 2) возвращается к состояния равновесия. Система на границе стойкости (рисунок 3.1, б) делает после снятия возбуждения незатухающие колебания. Неустойчивая же система (рисунок 3.1, в) начинает делать расходящиеся колебания.

В общем случае система может быть стойка при подачи на ее вход только малых по величине возбуждений, и наоборот, при довольно больших возбуждениях она становится неустойчивой. В таких случаях говорят, что рассмотренная система стойка " в малом", но неустойчивая " в большом". Примером такой системы может служить кулька (рисунок 3.2, а), которая помещена в чаше. При малых отклонениях кулька хочет занять положение на ее дне. При больших отклонениях он может перейти ее края, после чего он уже не сможет вернуться к своему положению равновесия на дне чаши. В линейных системах такого положения быть не может; если система, стойка " в малом", она будет стойка и " в большом".

Такая стойкая система дана на рисунок 3.2, бы. Здесь края чаши идут в бесконечность, и кулька всегда хочет успокоиться на ее дне. Неустойчивую систему можно иллюстрировать перевернутой чашей. Кулька, помещенная на ее вершине, при любом возбуждении скатывается или вправо, или влево и никогда не займет бывшего положения.

Система может быть и "нейтральной" (рисунок 3.2, г). В этом случае система после снятия возбуждения хотя и приходит к состоянию равновесия, однако это состояние неопределенное и может быть любым (кулька на плоскости может остановиться в любой ее точке). Реально мы имеем дело почти всегда с нелинейными, но линеаризоваными системами, представленными в виде линейных приближений, то есть линейных моделей.

 

 

а - система стойкая;

 

бы - система на границе стойкости;

в - система неустойчивая.

Рисунок 3.1 - Графики свободных колебаний в линейной системе автоматического регулирования

 


а - система стойка " в малом";

бы - система стойка " в большом";

в - система неустойчивая;

г - система нейтральная;

Рисунок 3.2 - Простейший пример иллюстраций на основные понятия о стойкости

 

Можно показать (теорема Ляпунова), что если линейное приближение нелинейной системы стойкое, то и система может быть стойкой, и наоборот. Это всегда следует иметь в виду при рассмотрении реальных линейных моделей.

Свободное движение линейной системы может быть описано линейным дифференциальным уравнением

 

, (3.1)

 

и итак, решение такого уравнения в общем виде при отсутствия нулевых и кратных корней запишется так:

/.

При этом очевидно, что если все действительные корни характеристического уравнения отрицательные, а комплексные имеют отрицательную действительную часть, то колебание, оказываемые системой, затухают, а то есть она стойкая. Действительно, тогда частные решения уравнения имеют вид , если - действительный корень ; , если - комплексные корне. Тогда , где .

Рисунок 3.3 - Распределение корней характеристического уравнения стойкой системы в комплексной плоскости

 

Тогда и амплитуды возникших колебаний обязательно уменьшаются со временем . Таким образом, система стойкая, если все корни ее характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости корней (рисунок 3.3).

Если в уравнении (3.1) , то оно имеет один нулевой корень и общее решение будет иметь вид .

Очевидно, что такая система уже не вернется после снятия возбуждения к своему первоначальному состоянию, то есть она есть нейтральной. При двух (и больше) нулевых корнях система будет неустойчивой, потому что общее решение уравнения (3.1) будет иметь вид для двух нулевых корней .

В том случае, когда система имеет хотя бы одну пару мнимых корней ( то есть действительная часть комплексного корня равняется 0), она находится на границе стойкости, потому что эта пара корней даст незатухающую колебательную составляющую, а все другие составляющие будут затухать с ростом t.

Вычисление корней в случае высоких степеней характеристических уравнений есть сложной и громоздкой задачей, поэтому исследуют стойкость системы с помощью оценок, связанных с коэффициентами характеристического уравнения. Эти оценки носят название критерии стойкости.

 

Случайная статья

1.4. Метод энергетической накачки

Добиться инверсной населенности системы, используя лишь два энергетических уровня, невозможно. При облучении такой системы внешним полем достаточной интенсивности будут преобладать переходы...
© 2017
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру