вход Вход Регистрация



3.1. Понятие о стойкости систем автоматического регулирования

Как мы видели выше, в простейших случаях системы автоматического регулирования описываются уравнениями не выше третьего порядка, и уравнение регулирования может быть решено в общем виде до конца. Итак, в такой системе всегда может быть построенный переходной процес., найденные степень его затухания, условия достижения границы аппериодичности, максимальное отклонение регулированной величины, неравномерность и продолжительность регулирования.

Однако любое осложнение как регулированного объекта, так и регулятора, ведет к осложнению и уравнениям процесса регулирования. В более сложных системах, описываемых уравнениями выше четвертого порядка, полное решение уравнений часто представляет значительных трудностей. С другой стороны, уже с описанного выше видная склонность систем регулирования к колебательному режиму работы. Именно поэтому возникает необходимость в первую очередь определить хотя бы характер переходного процесса и решить задачу о стойкости системы автоматического регулирования.

Система называется стойкой, если она после снятия возбуждения возвращается к состояния равновесия. Если в ней после снятия возбуждения возникают незатухающие колебания, то говорят, что система находится на границе стойкости.

Таким образом, стойкая система после снятия возбуждения (рисунок 3.1, а) с затуханием (кривая 1) апериодически ли (кривая 2) возвращается к состояния равновесия. Система на границе стойкости (рисунок 3.1, б) делает после снятия возбуждения незатухающие колебания. Неустойчивая же система (рисунок 3.1, в) начинает делать расходящиеся колебания.

В общем случае система может быть стойка при подачи на ее вход только малых по величине возбуждений, и наоборот, при довольно больших возбуждениях она становится неустойчивой. В таких случаях говорят, что рассмотренная система стойка " в малом", но неустойчивая " в большом". Примером такой системы может служить кулька (рисунок 3.2, а), которая помещена в чаше. При малых отклонениях кулька хочет занять положение на ее дне. При больших отклонениях он может перейти ее края, после чего он уже не сможет вернуться к своему положению равновесия на дне чаши. В линейных системах такого положения быть не может; если система, стойка " в малом", она будет стойка и " в большом".

Такая стойкая система дана на рисунок 3.2, бы. Здесь края чаши идут в бесконечность, и кулька всегда хочет успокоиться на ее дне. Неустойчивую систему можно иллюстрировать перевернутой чашей. Кулька, помещенная на ее вершине, при любом возбуждении скатывается или вправо, или влево и никогда не займет бывшего положения.

Система может быть и "нейтральной" (рисунок 3.2, г). В этом случае система после снятия возбуждения хотя и приходит к состоянию равновесия, однако это состояние неопределенное и может быть любым (кулька на плоскости может остановиться в любой ее точке). Реально мы имеем дело почти всегда с нелинейными, но линеаризоваными системами, представленными в виде линейных приближений, то есть линейных моделей.

 

 

а - система стойкая;

 

бы - система на границе стойкости;

в - система неустойчивая.

Рисунок 3.1 - Графики свободных колебаний в линейной системе автоматического регулирования

 


а - система стойка " в малом";

бы - система стойка " в большом";

в - система неустойчивая;

г - система нейтральная;

Рисунок 3.2 - Простейший пример иллюстраций на основные понятия о стойкости

 

Можно показать (теорема Ляпунова), что если линейное приближение нелинейной системы стойкое, то и система может быть стойкой, и наоборот. Это всегда следует иметь в виду при рассмотрении реальных линейных моделей.

Свободное движение линейной системы может быть описано линейным дифференциальным уравнением

 

, (3.1)

 

и итак, решение такого уравнения в общем виде при отсутствия нулевых и кратных корней запишется так:

/.

При этом очевидно, что если все действительные корни характеристического уравнения отрицательные, а комплексные имеют отрицательную действительную часть, то колебание, оказываемые системой, затухают, а то есть она стойкая. Действительно, тогда частные решения уравнения имеют вид , если - действительный корень ; , если - комплексные корне. Тогда , где .

Рисунок 3.3 - Распределение корней характеристического уравнения стойкой системы в комплексной плоскости

 

Тогда и амплитуды возникших колебаний обязательно уменьшаются со временем . Таким образом, система стойкая, если все корни ее характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости корней (рисунок 3.3).

Если в уравнении (3.1) , то оно имеет один нулевой корень и общее решение будет иметь вид .

Очевидно, что такая система уже не вернется после снятия возбуждения к своему первоначальному состоянию, то есть она есть нейтральной. При двух (и больше) нулевых корнях система будет неустойчивой, потому что общее решение уравнения (3.1) будет иметь вид для двух нулевых корней .

В том случае, когда система имеет хотя бы одну пару мнимых корней ( то есть действительная часть комплексного корня равняется 0), она находится на границе стойкости, потому что эта пара корней даст незатухающую колебательную составляющую, а все другие составляющие будут затухать с ростом t.

Вычисление корней в случае высоких степеней характеристических уравнений есть сложной и громоздкой задачей, поэтому исследуют стойкость системы с помощью оценок, связанных с коэффициентами характеристического уравнения. Эти оценки носят название критерии стойкости.

 

Случайная статья

20.2. Главная цель и задачи метрологического обеспечения

Основными задачами метрологического обеспечения есть: повышение качества продукции, эффективности управления производством и уровня автоматизации производственных...
© 2017
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру