вход Вход Регистрация



Один из первых критериев стойкости был выявленный профессором Й. А. Вишнеградским и приведенный им в роботах " О регуляторах прямой действия" и " О регуляторах косвенного действия". Критерий сформулирован для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями третьего порядка, характеристическое уравнение которых приведено к виду: .

Рисунок 3.4 - Диаграмма, которая определяет область стойкости систем, описываемых уравнениями 3-го порядка. (Диаграмма Вишнеградского)

Если ввести обозначение и , то за Вишнеградским, для того чтобы система была стойкой необходимо, чтобы , или . На рисунке 3.4 в координатах X и Υ нанесенная гипербола ΧΥ =1, что дает границу стойкости системы. Линия между области стойкости обычно штрихуется, так что по штриховке без дополнительных объяснений можно увидеть области стойкости.

На диаграмме рисунку 3.4 нанесенная и линия границы аппериодичности, обусловленная условием с лицом точкой при значениях Х=Υ=3.

Изложенный выше критерий стойкости Вишнеградского является отдельным случаем критерия стойкости Рауса-Гурвица. Этот критерий может быть сформулирован так, в форме, предложенной Гурвицем: если система описывается линейным дифференциальным уравнением, характеристическое уравнение которого:

/,

то для того, чтобы она была стойка, то есть чтобы все действительные корни и действительные части комплексных корней характеристического уравнения были бы отрицательные, необходимо и довольно, чтобы все коэффициенты уравнения имели бы один и тот же знак, а диагональный детерминант порядка n-1, составленный из коэффициентов уравнения, и все его диагональные миноры были бы положительными:

Диагональный детерминант составляется так:

,

,

,

.

Таким образом, для того чтобы система была стойка, нужно чтобы все коэффициенты имели одинаковый знак и все детерминанты были больше 0.

Порядок составления диагональных миноров можно разобрать на примере уравнения пятой степени:

.

Тогда получаем:

,

,

.

Для уравнения третьего порядка:

.

А также и .

 

Отметим, что при и имеем условий стойкости Вышеградского

, или .

Как критерий Вишнеградского, так и критерий Рауса-Гурвица определяют стойкость системы за коэффициентами характеристического уравнения и носят название алгебраические критерии стойкости. Рассмотрим некоторые примеры исследования стойкости с помощью критерия Рауса-Гурвица.

Пример 1. Характеристическое уравнение системы

Для этого:

,

,

Как и все коэффициенты этого уравнения больше нуля, так и детерминант есть также больше нуля – система стойкая.

Случайная статья

2 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ИНВЕРТОР

2.1 Общие соображения   Инверторами тока называются автономные преобразователи энергии постоянного тока в энергию переменного тока, формирующие в нагрузке кривую тока (обычно прямоугольной...
© 2017
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру