вход Вход Регистрация



Характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического регулирования

 

 

может быть использованное для формулирование другого критерия стойкости - критерия Михайлова. Сделаем в характеристическом уравнении замену р на . В результате подстановки получим функцию комплексной сменной

,

которая является вектором в комплексной плоскости .

При изменению величины от 0 до вектор будет поворачиваться против часовой стрелки ( то есть в позывном направлении) возле начала координат, меняя одновременно и свою длину. Этот вектор называют вектором Михайлова.

Система, которая описана линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, будет стойка, если годограф вектора Михайлова при изменению от 0 до обходит последовательно . в положительном направлении, нигде не обращая в нуль " " квадрантов, где - порядок характеристического уравнения системы (рисунок 3.5), то есть поворачивается на угол, равный . Если годограф вектора Михайлова проходит через 0 (рисунок 3.5, б), не заходя в очередной квадрант, то система на частоте, которая отвечает прохождению вектора через 0, находится на границе стойкости.

При нарушении указанного высшее обращение вектора система неустойчивая(рисунок 3.5, в). Из критерия Михайлова вытекает, что необходимым и достаточным условием стойкости линейной системы есть наличие у полиномов и действительных корней и их перемножение (рисунок 3.6, а). Действительное при , а . Дальше при , принимает положительное значение, а принимает нулевое значение. Еще при повороте на угол должно принять нулевое значение, а принять какое-то отрицательное значение. Ведь корни должны располагаться между корнями . Если корни и совпадают то годограф проходит через начало координат и система находится на границе стойкости.

а- стойких систем;

бы- системы на границе стойкости;

у- неустойчивых систем;

Рисунок 3.5 - Годограф вектора Михайлова

а- стойких систем;

бы- системы на границе стойкости;

у- неустойчивых систем;

Рисунок 3.6 Графики функций и

Если корни и то система не стойкая.

а – система стойкая;

бы – система неустойчивая;

 

Рисунок 3.7 – Примеры годографов Михайлова

Рассмотрим несколько примеров исследования стойкости с помощью критерия Михайлова.

Характеристическое уравнение системы .

Таким образом имеем:

.

Соответственно и .

Нетрудно заметить, что годограф вектора последовательно проходит через четыре квадранта, не обращая в нуль (рисунок. 3.7, а), то есть система стойкая.

Применение как алгебраических критериев стойкости, так и критерия Михайлова требует знания коэффициентов уравнения, то есть самого уравнения системы. Применение этих критериев для исследования уравнений высоких порядков (выше пяти-шести) требует громоздких вычислений и навряд или удобно для практического использования.

 

Случайная статья

6.5 Морфологические изменения в тканях при воздействии лазерного излучения

Установленно [17.18], что макроскопические и микроскопические изменения в лазерной ране независимо от органной принадлежности имеют определенную общность - наличие выраженных, имеющих четкие границы...
© 2017
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру