вход Вход Регистрация



Частотный критерий позволяет судить о стойкости замкнутой линейной системы регулирования по виду амплитудно-фазовой характеристики той же системы в разомкнутом состоянии (рисунок 3.8). Он был сначала сформулированный Найквестом для исследования усилителей с негативной обратной связью, а потом обобщенный и примененный Михайловим для исследования стойкости систем регулирования.

Для применения частотного критерия нужно знать амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы регулирования, которая может быть получена как аналитически, так и непосредственным експерементом. Экспериментальное получение ее на уже готовом и работающем регулированном объекте обычно не представляет значительных трудностей. Аналитическое же составление уравнения сложного объекта регулирования часто встречает значительные трудности и в данное время еще не всегда возможно.

Частотный критерий стойкости формулируется таким способом: замкнутая система регулирования стойка, если она стойкая в разомкнутом состоянии и при этом амплитудно-фазовая характеристика ее ( в разомкнутом состоянии) не охватывает точки с координатами -1, и0 (рисунок 3.9). В противном случае замкнутая система неустойчивая.

Рисунок 3.8 – Структурная схема автоматического регулирования при размыкании

Говорят, что амплитудно-фазовая характеристика охватывает точку (-1, и0), если эта точка лежит в середине контура, образованного характеристикой и отрезком, который соединяет точки кривой для частот к .

Физическое обоснование высказанного утверждения заключается в следующем. Возьмем разомкнутую систему регулирования (рисунок 3.8) и представим на ее вход гармонические колебания. Через некоторое время, как мы знаем, на ее выходе установятся также незатухающие колебания. Меняя частоту входных колебаний, можно при некоторых условиях и соответствующем подборе характеристических величин регулятора получить на выходе системы колебания с амплитудой, равной амплитуде входных колебаний и сдвинутые по фазе относительно них на 180°. Итак, в этом случае .

Если теперь, мыслью прекратив подачу входных колебаний, запереть систему негативной обратной связью, то исходные колебания как бы заменят собой входные, потому что они целиком идентичные с ними. Итак, в дальнейшем система, предоставленная самой себе, будет делать незатухающие колебания, то есть будет находиться на границе стойкости. В этом случае , где - амплитудно-фазовая характеристика системы в разомкнутом состоянии, равная произведению амплитудно-фазовых характеристик объекта и регулятора.

а - стойкой системы;

бы – неустойчивой системы регулирования;

Рисунок 3.9 - Амплитудно-фазовые характеристики

 

Таким образом, так как и , то для получения для соблюдения равенства, которое приведено выше, необходимо чтобы и , или с учетом знака регулятора .

Если при сдвиге фаз входных и исходных колебаний в 180°,амплитуда исходных колебаний будет больше амплитуды входных, то при замыкании в системе возникнут расходящиеся колебания и система окажется неустойчивой. Отношение будет больше единицы и амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы пересечет отрицательную действительную полуось на расстоянии от начала координат, большей единице.

Наоборот, если при сдвиге фаз входных и исходных колебаний в 180° амплитуды исходных колебаний будут меньше амплитуд входных, то при замыкании системы возникнут затухающие колебания, а отношение будет меньше единицы.При этом амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы пересечет отрицательную действительную полуось на расстоянии от начала координат, меньшей единице.

Замкнутая система автоматического регулирования может быть, вообще говоря, стойкой и тогда, когда некоторые из корней характеристического уравнения находятся в правой полуплощади, то есть разомкнутая система неустойчивая. В этом случае частотный критерий имеет более общее формулирование: замкнутая система автоматического регулирования будет стойкой, если-амплитудно-фазовая характеристика соответствующей ей разомкнутой системы охватывает точку (-1,и0) в додатном направления — раз, где m - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, которые лежат в правой полуплощади.

Пример. Пусть уравнение разомкнутой системы автоматического регулирования имеет вид:

.

Тогда амплитудно-фазовая характеристика такой системы:

.

Для нахождения точки пересечения амплитудно-фазовой характеристики с отрицательной действительной полуосью ( должен равняться ), отсюда .

Пусть, например, , тогда . Подставляя найденное значение в выражение для находим .

Итак, система может быть стойкая или неустойчивая, в зависимости от соотношения величин , и Если это амплитудно-фазовая характеристика не охватывает точку (-1, и0) и система стойкая. Если же то система неустойчивая.

Частотный критерий стойкости особенно интересный тем, что не требует для своего применения обязательного знания уравнения или системы ее передаточной функции. Надо лишь иметь амплитудно-фазовую характеристику системы, которая может быть получена и экспериментально, что во многих случаях проще, точнее и надежнее. Применение же других вышеизложенных критериев требует знания дифференциального уравнения исследуемой системы автоматического регулирования.

Довод частотного критерия может быть выполнен таким способом.

Уравнение системы автоматического регулирования в разомкнутом состоянии (см. рис. 3.10) , где здесь Р(р) и - полиномы от р, причем в реальных системах степень полинома не больше степени Р(р). При замыкании системы итак, уравнение системы автоматического регулирования в замкнутом состоянии будет , а ее характеристическое уравнение .

 

а - годограф вектора АФХ разомкнутой стойкой системы;

бы - годограф вектора ;

Рисунок 3.10 - График к доводу частотного критерия

 

Пусть система стойка в замкнутом и разомкнутом состояниях. Рассмотрим передаточную функцию

 

(3.1)

 

Вектор К(іω), что отвечает изменению ω от 0 до ∞ получит суммарное увеличение аргумента, равное 0, потому что числитель и знаменатель согласно критерию Михайлова будут иметь увеличения аргумента, ровно . Но выражение (3.1) можно переписать так:

 

(3.2)

 

где - передаточная функция системы в разомкнутом состоянии. Из выражения (3.2) вытекает, что .

Отсюда видно, что годограф вектора представляет собой годограф вектора амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой системы, смещенный на единицу вправо (рисунок 3.10).

Как было показано выше, для стойкости замкнутой системы необходимо и довольно, чтобы увеличение аргумента вектора при изменению ш от 0 до ∞ равнялось 0. Это условие выполняется, если годограф вектора не охватывает начало координат, то есть АФХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1, и0), что и нужно было довести. Следует помнить, что увеличение аргумента вектора при движении его конца в замкнутом контуре равняется нулю только тогда, когда начало вектора лежит вне этого контура.

 

Случайная статья

4 Разработка АСКУЭ

4.1 Предпроектное обследование объекту и техническое задание Первым шагом в создании АСКУЭ современного предприятия должно быть определение целей создания АСКУЭ и задач, которое...
© 2017
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру