вход Вход Регистрация



Математическое обеспечение этапа синтеза. Математическое обеспечение этапа анализа). Методы повышения сходимости и устойчивости (устойчивости) итерационного процесса. Применение статистической математики для оценки начальной схемной надежности.

Программа синтеза аналоговых и дискретных фильтров Filter Designer

Программа синтеза аналоговых фильтров Filter Designer не входит в состав системы DesignLab, а поставляется отдельно и функционирует в среде DOS. Однако это не снижает ее ценности, ибо результаты синтеза представляются в виде текстовых описаний макромоделей фильтров и могут быть переданы в схемный редактор Schematics и PSpice для дальнейшего моделирования.
В программе Filter Designer производится аппроксимация частотных характеристик ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ с помощью полиномов Баттерворта, Чебышева, эллиптических полиномов и полиномов Бесселя. Предусмотрен синтез фильтров из амплитудно-частотными характеристиками произвольного вида и синтез фазовых корректоров. Рассмотрена реализация фильтров на пассивных LC-кругах, активных RC-фильтров и фильтров, которые переключаются, на конденсаторах, т.е. фильтров, обрабатывающих дискретные отсчеты сигналов (так они еще называются дискретных фильтров). Максимальный порядок фильтров равна 32.

Математическое обеспечение этапа анализа

Типовые МЗ этапа анализа АСхП похожи между собой и состоят из следующих компонентов:
- БМП (библиотека моделей и параметров дискретных приборов и интегральных микросхем);
- Алгоритм формирования математической модели схемы (ММС);
- Численные методы решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений ММС.
Общие черты МЗ обусловлены следующими факторами:
1) При наличии большого разброса постоянных времени, в моделируемой схемах возникает проблема численной неустойчивости, которая ограничивает величину шага интегрирования и способствует накоплению локальной погрешности. Поэтому современные программы АСхП используют модифицированный метод узловых потенциалов с расширенным координатным базисом (МВП), который позволяет сформировать ММС в виде, удобном для использования неявных методов численного интегрирования, которые характеризуются устойчивостью.
2) То же разброс постоянных времени требует автоматического выбора шага и порядка метода интегрирования для повышения экономичности моделирования.
3) В связи с разреженностью матрицы Якоби, в МВП используются специальные списочные методы хранения и обработки информации, алгоритмы предустройства и переустройства матриц. СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений), которые образуются после линеаризации методом Ньютона-Рафсона, решаются методом LU-разложения, который приспособлен к разреженности матриц.
4). Для повышения надежности сходимости метода Ньютона-Рафсона применяются различные методы подвижной области сходимости.
SPICE - имитатор, используемый в МС5 и EWB 5.12 и универсальный алгоритм МАЭС-П превращают нелинейные дифференциально-разные уравнения к набору нелинейных уравнений. Чтобы аппроксимировать значения интеграла в области времени, Electronics Workbench и МС5 используют численные методы:
1. Метод трапеций.
2. Обратный метод Эйлера второго порядка с переменным шагом.
3. Метод Гира.
Можно изменять выбранный метод и его максимальный порядок (от 3 до 6). Шаг интегрирования меняется автоматически: с увеличением скорости изменения (крутизны) зависимости он пропорционально уменьшается.
В МАЭС-П для алгебраизации используется метод интегрирования с применением формул дифференцирования назад (ФДН) с переменным шагом и порядком - метод Брайтона (шестого порядка).
Общим для этих программ является то, что ММС (математическая модель схемы) решения методами переменного порядка с переменным шагом: полученные нелинейные алгебраические уравнения линеаризуются с помощью модифицированного метода Ньютона - Рафсона. Отмены этих приложений заключаются в дополнительных средствах улучшения сходимости и повышения точности. Так, Electronics Workbench использует два алгоритма Ньютона-Рафсона: Gmin-stepping (минимальной проводимости) и Source-stepping (прирост источники), что помогает находить координаты рабочей точки нелинейных схем. Это многошаговые итерационные алгоритмы. В первом алгоритме, в диагональных элементов переменной узловой матрицы полной проводимости добавляется итеруема проводимость Gmin, во втором - итеруется источник постоянного тока.
В МАЭС-П реализованы два метода линеаризации: Ньютона и Ньютона с продолжением по параметру. Переход от одного к другому осуществляется автоматически. Метод Ньютона с продолжением по параметру выполняет смену всех независимых источников тока и напряжения от нуля до номинального значения с регулируемым шагом их изменения (аналогично Source-stepping).
Константы моделирования, приведены в разделе Global Settings (MC5 и EWB 5.12) можно менять, как и в МАЭС-П, на этапе ввода задания на анализ. Контроль погрешности метода Ньютона в МАЭС-П осуществляется по шести критериям (в последней версии EWB - по трем критериям). Задания начальных условий в EWB возможно только для потенциалов узлов и по переменным состояния.
Набор линейных алгебраических уравнений эффективно решается во всех рассматриваемых программах методом LU - разложения. При использовании списка связей ненулевых компонентов разреженной матрицы Якоби (высокая разреженность характерна для электронных схем большой измеримости) снижаются затраты машинного времени и памяти. Для повышения эффективности и увеличения точности развязку используются алгоритмы, дополняющие основной метод разреженной матрицы:
- частичный основной алгоритм, уменьшающий погрешность округления;
- алгоритм предустойства;
- алгоритм переустройства.

Решение дифференциальных уравнений, заданных в неявной форме

Методы интегрирования распределяются:
1. По характеру системы уравнений, получаемой.
2. По величине методической погрешности, связанной с аппроксимацией.
3. По характеру изменения накопленной погрешности - устойчивые и неустойчивые.
Обобщенная формула методов высокого порядка:

 



При bi=0– явный, bi? 0– неявный
Удачное представление - когда Vк фигурирует один раз.
При использовании базиса узловых потенциалов, уравнение ММС образуются в неявной форме относительно первых производных этого вектора. В общем случае такие уравнения имеют вид:
, (8.1)
где: i = 1 ,..., N - число переменных.
Уравнения в неявной форме решаются иначе, чем уравнения в явной форме.
Метод решения уравнения (8.1) определяется формулами дискретизации, которые являются аппроксимацией производных x/i (t), соответствующие тем или иным формулам численного дифференцирования или интегрирования:
Таким образом, от исходной системы переходим к системе нелинейных уравнений:
(8.2)
Замена производных и интегралов аппроксимирующими формулами в математической модели схемы называется дискретизацией компонентных уравнений емкости и индуктивности, а использование этих формул и получения системы, не содержит производных, называется алгебраизациею. Дискретизация и алгебраизация составляют суть построения динамической модели схемы в неявном виде.
В современном математическом обеспечении АСхП используются методы алгебраизации дифференциальных уравнений на основе формул численного интегрирования Гира.
,

де ,
где,
h - размер k-го шага интегрирования; г - порядок формулы Гира, b и dj, - коэффициенты, зависящие от р и размеров предыдущих шагов. Ниже в данном разделе для упрощения записи формул верхние и нижние индексы, обозначающие номера итераций и шагов, не указываются, если это не приводит к неоднозначному пониманию формул.
Метод Гира находит развязок точнее и быстрее, чем метод трапеций, подавляются ложные осцилляции и повышается сходимость итерационного процесса, используемого в ISSPICE3 алгоритме (Gear method of integration). Модель схемы в виде системы нелинейных алгебраических уравнений решается дальше относительно Dxn+1 або xn+1 многочисленным методом Ньютона - Рафсона.
Кроме того, каждый реактивный компонент (C или L) схемы может быть описан своей формулой дискретизации. Таким образом, при расчете схемы в целом время будут применяться различные численные методы расчета переходных процессов, соответственно этим формулам.

Дискретная модель линейной емкости.
(8.3)
Это уравнение является точным соотношением. В то же время, многочисленные формулы воспроизводят приближенное решение. Например, для неявной формулы Эйлера
(8.4)
Если мы аппроксимируем точное решение U / (tn +1) численным U / n +1, то уравнение (8.3) примет вид:
(8.5)
Подставив уравнение (8.5) в (8.4) и решение связав в отношении in +1, получим:
­ (8.6)
Этому соотношению соответствует эквивалентная схема (рис. 8.1, а), состоящая из резистора и источника тока .
Аналогично можем получить дискретную модель для любой многошаговой формулы численного интегрирования.
Так, в общем виде многошаговый метод изображается формулой:
,

или , (8.7)

где ;

- коэффициенты аппроксимирующего точных развязок полинома;
к - порядок метода.
Подставив уравнение (8.5) в (8.7), получим:
,

откуда: (8.8)
Этому соотношению соответствует дискретная модель, приведенная на рис. 8.1, б.

Рис. 8.1. Дискретная модель линейной емкости соответствующая неявному методу Эйлера (а), многошаговому методу интегрирования (б)

Дискретная модель линейной индуктивности.
Проведем аналогичные рассуждения для линейной индуктивности.
, или , (8.9)

Этому соотношению соответствуют схемные дискретные модели, приведены на рис. 8.2, а, б.

а б

Рис. 8.2. Дискретная модель линейной емкости соответствующая неявному методу Эйлера (а), многошаговому методу интегрирования (б)


Многошаговые методы интегрирования
В программах АСхП применяются, главным образом, неявные методы интегрирования, использующих принцип прогноза и коррекции: для вычисления xn +1 используется информация от предыдущих шагов. Поэтому метод численного интегрирования при к> 1 называется многошаговых. Общий вид многошаговой формулы численного интегрирования имеет следующую форму:
xn+1=a1xn+a2xn-1+... +aкxn-к+h (b0x/n+1+b1x/n+... +bкx/n-к )=

= aix/n-i+h*bix/ n+1-i (8.10)

або xn+1=aix/n-i +h*bif (xn+1-i, tn+1-i) , (8.11)
где a1, a1,..., aк, b0, b1,..., bк являются коэффициентами аппроксимирующего точное решение x (t) полинома, и определяются из условия совпадения значений полинома, и его производных с заранее вычисленными значениями xn, xn-1,..., xn-к та x/n , x/ n-1,..., x/n-к ,подразумеваемые точными.
Коэффициенты ai и bi определяют ту или иную формулу численного интегрирования. Так, для к = 0, ao = 1, b1 = 1 и других коэффициентов, равных 0, получаем явную формулу Эйлера; для к = 0, ao = 1, bo = 1, - неявную формулу Эйлера; для к = 0, ao = 1, bo = b1 = 1 / 2 - формулу трапеции. При Bо = 0 получаем явные методы интегрирования, а при b0 = 1 - неявные. При к = 6, b0 = 1, а 0 .. ?ак 0 и других коэффициентах, равных 0, получаем формулу ФДН.
Степень полинома, которым аппроксимируется это решение x (t), называется порядком метода. Порядок метода определяется количеством предварительных временных точек, значения x (t) в которых используется в формуле интегрирования. А погрешность описания функции x (t), которая является полиномом k-той степени, определяется отброшенными членами ряда Тейлора, имеющие производные (k +1)-го и более высоких порядков, называется ошибкой усечения.

Показатели эффективности методов развязывания ОДУ.
Основными показателями эффективности методов численного развязывания ОДУ является точность и экономичность. Точность оценивается погрешностью численного решения


Различают погрешности накопленную моменту за все предыдущие шаги интегрирования и локальную, допущенную на одном k-м шаге. Погрешность усечения вместе с ошибкой округления, обусловленной конечной длиной машинного слова в ЭВМ, составляют локальную ошибку интегрирования. Оценка накопленной погрешности в общем случае не является возможной (если неизвестно точность развязок), поэтому точность развязки контролируют по локальным погрешностях.
Локальная методическая погрешность многошагового метода порядка р оценивается по формуле:
(8.12)
где - норма вектора (р +1)-х производных определяющих координат U (t) по времени; ; ср зависит от характера и порядка метода.
Как отмечалось выше, при использовании неявных многошаговых методов требуется прогноз начальных значений xпрn +1 за помощью явных формул интегрирования, в которые входят только известные из предыдущих шагов значения переменных и их производных. Формулы коррекции неявные и развязок xкорn +1 получаемые итерационными методами.
Значение Xпр n +1, используется также и для оценки локальной погрешности на шагу. Чаще всего для этой цели используется следующая формула:

.

Здесь xкopn +1 - результат, полученный по формуле коррекции, когда итерации совпали, значение xnpn +1 найдено в ходе прогноза.
Если накопленная погрешность имеет тенденцию увеличиваться от шага к шагу, то вычислительный процесс становится неустойчивым. Неустойчивость может привести к катастрофическому росту погрешности, поэтому неустойчивы вычислительные процессы не применяются.
Факт не превышение локальной погрешности на каждом шагу допустимого ее значение еще не гарантирует отклонение численного развязку от точного на интервале интегрирования не более Emax, так как локальные ошибки вычисляются на основании численного, а не точного развязку. Уменьшая шаг интегрирования, теоретически можно получить численный развязок как угодно близко к точному, но это приведет к увеличению числа шагов интегрирования и соответственно к увеличению затрат машинного времени. Поэтому надо стремиться получить численное решение не более точное, чем требуется.
Экономичность метода определяется затратами машинного времени ТМ и памяти ПМ на решение задачи анализа, причем для методов решения ОДУ основным показателем является ТМ:
,
где q - коэффициент пропорциональности, зависит от быстродействия ЭВМ;
N - число операций, выполняемых на одном шаге интегрирования;
min минимальная постоянная времени.t max максимальная и t min, где t max / tШ - число шагов интегрирования, которое пропорционально числу обусловленности (обусловленности) устройства Ц=tmax/ tmin , где tmax
Явные методы характеризуются меньшими значениями N, но большими значениями Ш по сравнению с неявными методами. Минимизация N при применении явных методов достигается в случае интегрирования уравнений, изображенных в нормальной форме Коши. В этом случае не требуется решать систему конечных уравнений, так как на каждом шаге интегрирования переменные изображены в явном относительно известных величин виде.

Выбор порядка и шага метода интегрирования

Для выбора порядка метода интегрирования, оценивается локальная погрешность методов р-1, р, р +1 - порядков для каждой i-ой переменной Eрn+1,i, Eр+1n+1,i, Eр-1n+1,i.
Каждому порядку соответствует своя Emax=max {En+1,i}.
Среди Eкmax, Eк-1max, Eк+1max находится порядок метода с наименьшим значением Emax и принимается за En +1 . После этого определяется новый шаг по формуле:
hнов=h, (8.13)
где emax - максимально допустимая погрешность на единицу времени;
h - выполнен шаг интегрирования;
En +1 - локальная погрешность на этом шаге;
р - порядок метода интегрирования.
Для выбора шага метода интегрирования используют алгоритмы трех зон;
,
где - погрешность на k-шаге;
eд1, eд2 , m1 , m2 - параметры алгоритма,
Часто задаваемые m1=0.5, m2=2, eд1/eд2=2р+1, где р – порядок метода.

Также используют алгоритм плавного изменения шага:
hk+1=hk(eд/e)1/(p+1),

где eд, e - допустимая и допущена ошибка на k-шаге.

Устойчивость численных средств интегрирования.
Однако точность не единственный фактор, который влияет на величину шага интегрирования. Численная неустойчивость часто значительно сильнее ограничивает величину шага, чем рассуждения точности. Методы, в которых локальные погрешности накапливаются (что может вызвать рост полной погрешности) называются численно неустойчивыми. Методы, в которых локальные погрешности частично компенсируют друг друга, и изменение полной погрешности будет незначительной, называются численно устойчивыми.
До устойчивых и точных методов интегрирования относится метод Гира разных порядков, используемый в современных программах АСхП (EWB 5.12). В таблице 8.1. приведена общая формула метода Гира первого-шестого порядка, который при значении номера порядка р = 1 превращается в метод Эйлера, при р = 2, - на метод Шихмана.

Таблица 8.1.

р Общий вид формулы для методов Гира

 

а0 а1 а2 а3 а4 а5 а6
1 (метод Эйлера) 1 -1
2 (метод Шихмана) 1,5 -2 0,5
3 11/6 -3 1,5 -1/3
4 25/12 -4 3,0 -4/3 0,25
5 137/60 -5 5,0 -10/3 1,25 -0,2
6 147/60 -6 7,5 -20,3 3,75 -1,2 1/6

 

Значения коэффициентов ai формул Гира, приведены в табл.8.1, справедливы только при постоянном шаге интегрирования. В общем случае их нужно рассчитывать по формулам:

© 2018
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру