вход Вход Регистрация



.

На рис. 8.3. приведены области устойчивости для метода Гира. Штриховки показано у границ внутри областей устойчивости. Числа 2,3,4 определяют порядок метода, = – 1/tj – j-і - собственное значение матрицы Якоби (tj - постоянные времени). Условия устойчивости должны выполняться относительно всех, где l - положительное действительное число.


Рис. 8.3. Области устойчивости вычислений по неявному методу Гира.
Для неявного средства Эйлера развязок можно записать в виде:
,
Для метода трапеций аналогично:

.
В обоих случаях имеем xn® 0, когда n®¥, независимо от размера шага. Следовательно, можно заключить, что как неявный метод Эйлера, так и метод трапеций устойчивы.
Следует отметить, что выполнение условий устойчивости для численного средства, не означает правильности результатов расчета. Это только означает, что любая погрешность при вычислениях не увеличится на следующих шагах. На величину погрешности влияет так называемая погрешность усечения, которая тем больше, чем больше шаг h.

Комбинированные алгоритмы анализа
Алгоритм называют комбинированным, если в нем используются различные методы на разных этапах численного развязку (временное комбинирования), или для разных частей (пространственное комбинирования) заданной системы уравнений. Цель комбинирования методов - повышение эффективности вычислений. Различают циклические и адаптивные комбинированные алгоритмы. В циклических алгоритмах изменение методов численного развязку происходит циклически через равное число шагов (итераций) вычислительного процесса. В адаптивных алгоритмах выбирается тот метод, обеспечивающий экстремальное значение выбранного показателя эффективности. Как правило, в алгоритмах развязку ОДУ таким показателем являются затраты машинного времени ТМ, которые нужно минимизировать при выполнении заданных ограничений на локальную погрешность развязку.
Методы ФДН, применяемые в МАЭС-П, основанные на формулах дифференцирования назад и является адаптивным временным комбинированием формул Гира разных порядков р (обычно р = 1 ... 6). На каждом шагу при реализации методов ФДН выполняются следующие операторы (предполагается, что на предыдущем k-м шаге используется метод порядке Рk):
- по (8.12) оцениваются погрешности вычислений для методов порядка рk-1, рk і рk+1 соответственно при размере шага hk +1;
- выбирается метод такого порядка Рk +1, которому соответствует минимальное значение среди;

- рассчитывается размер шага hk +1 по hk+1=hk(eд/e)1/(р+1) ;

- осуществляется шаг интегрирования по методу порядка Р k +1 с размером шага hk +1.


Сравнение одношаговых и многошаговых методов
1. Многошаговые методы требуют больших объемов памяти.
2. В многошаговых методах существует возможность оценки погрешности каждого шага, поэтому шаг выбирается оптимальным, а в одношаговых - с запасом, что снижает быстродействие.
3. При сравнительно точности многошаговые методы требуют меньшего объема вычислений: Рунге-Кутта - 4 значение функции на каждом шагу, прогноза коррекции - 2.
4. Одношаговые методы легко позволяют изменить шаг в процессе развязку.

Общие черты одношаговых методов

1. Для получения информации в новой точке нужны данные только о предыдущей.
2. В основе лежит расписание функции в ряд Тейлора, в котором хранятся члены до k-того включительно, где k - порядок метода.
.
3. Не требуется вычисления производной, только значения функций в крайней и промежуточной точке.
4. Можно динамически изменять величину шага интегрирования.

Линеаризация методом Ньютона - Рафсона
Решение системы уравнений является обязательной частью практически всех видов моделирования. Наибольшее распространение в программах АСхП получил метод Ньютона - Рафсона [2, 18-20]. С помощью этого метода решаются уравнения вида F (x) = 0, то есть, уравнения, составленные в базисе узловых потенциалов.
Пусть имеется система n-нелинейных уравнений:
, (8.14)

где i=1, 2,..., n.

Как и при одном неизвестном, примем, что Хj=(x1j, x2j, x3j,..., xnj )- вектор, полученный на j-той итерации. Предположим, что каждая компонента вектора Хj достаточно близка к точному развязку Хит, тогда при разложении функции fi (x1, x2 ,..., xn) = 0 в ряд Тейлора можно пренебречь членами второго и более высоких порядков, то есть:
(8.15)

Если считать Хj +1 точным решения связью, тогда:, (8.16)

где i=1,2,...,n.

Это уравнение определяет систему с n уравнений и может быть записано в следующей матричной форме

, (8.17)
где J (Xj) является матрицей Якоби от F(x) в точці Х=Хj.
В развернутом виде:

 

(8.18)

 

Теперь можно решить уравнение относительно Х j+1:

(8.19)

Это уравнение является n-мерным аналогом метода Ньютона - Рафсона. Сравнение уравнений (6.14) и (6.4) показывает, что они точно идентичны по форме.
Однако объем вычислений растет, так как необходимо оценить n частных производных на каждой итерации для получения матрицы Якоби J(xj). Для n-мерного метода Ньютона - Рафсона характерны те же проблемы сходимости, что и в одномерном случае. Однако существует доказательство, что если начальный вектор Хо близок к развязку ХT для F(Х)=0, то n-мерный метод Ньютона Рафсона будет всегда совпадать, причем довольно быстро.
Ниже приведена блок-схема алгоритма Ньютона - Рафсона.

Метод подвижной области сходимости
.
Для повышения надежности сходимости метода Ньютона - Рафсона часто применяется специальное средство - метод подвижной области сходимости. В этом методе система F (x) = 0 заменяется F(x)=0 эквивалентной системой F(x,r) = 0, где параметр r=rmin-rmax изменяется так, что решение x0 системы F (x, rmin) = 0 известно, а F (x, rmax) = F (x).
Единовременное решение системы F (x) = 0 заменяется серией решения связей с параметром r, изменяющегося от решения к решению. В этом методе, если dxi и dxi+1 - области сходимости у точек xi и xi+1, то условием надежности сходимости очередной точки xi +1 является условие принадлежности предыдущей точки хі, что является начальным приближением для определения xi+1, к области сходимости dхi+1. Это условие соблюдается соответствующим выбором параметра ri+1. Конкретные методы реализации этого метода отличаются типом и способом изменения параметра r функции ri+1=f(r) . Конечно, в качестве r выбирают напряжение источника питания E, причем E i+1=E i + DE, где DEi выбирается из условия сходимости.


Метод LU-преобразования
Лучшим методом решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является метод преобразования (расписания) матрицы А на треугольные матрицы, или метод LU-факторизации. Алгоритм этого метода близок к методу Гаусса [14]. Главное преимущество метода LU-преобразования по сравнению с методом Гаусса - это возможность более простого получения решения связей для различных векторов в правой части системы уравнений.
Предположим, что матрица Якоби СЛАУ можно разложить на два множителя
A=L*U,

где

Здесь матрица L является нижней треугольному, а матрица U - верхней треугольному. Отметим, что на главной диагонали матрицы U находятся единицы. Это означает, что определитель матрицы А равен произведению диагональных элементов lii матрицы L.
Предположим, что мы получили матрицы L и U. Тогда:
L * U * X = B
Обозначим U * X = Z, тогда мы получим:
L * Z = B
Благодаря специальной форме матрицы L, вектор Z можно легко определить.

Для этого запишем:
l11z1 =b1,

l21z1+l22z2 =b2,

l31z1+l32z2+l33z3 =b3,

.

.

ln1z1+ln2z2+ln3z3+...+lnn zn =bn.

Отсюда получаем:

z1=b1/l11,

z2=(b2 - l21z1)/l22,

z3=(b3 - l31z1 - l32z2)/l33, …

Или в общем виде:
z1=b1/l11,

i=2, 3,..., n

Этот процесс называется прямым исключением (прямой подстановкой или прямым ходом). Чтобы эти вычисления имели смысл, диагональные элементы lii должны быть ненулевыми. Теперь вернемся к U * X = Z, и найдем вектор X.
x1+u12x2+u13x3+...+ u1n xn =z1,

x2+u23x3+...+ u2n xn =z2,

…………………….

………………..

xn-1+un-1,n xn=zn-1,

xn=zn.

Этот процесс называется обратной подстановкой, или обратным ходом. Число операций, необходимых для выполнения как прямой подстановки, так и обратной, равна n2 / 2, а в сумме для решения СЛАУ требуется n2 операций. Выводом формул LU-преобразования заниматься не будем. Приведем общие выражения для получения элементов матриц L и U:
, i=k, k+1,..., n,

, j=k+1, k+2,..., n.

Важные преимущества метода LU-преобразования:
1. Легко вычисляется определитель матрицы А:
det A=

2. Элементы матрицы L и U могут быть записаны на места элементов матрицы А и занесены в те же участки памяти (запоминать единичные элементы на главной диагонали матрицы U нет необходимости).
3. Легко найти развязок для другого вектора B в правой части, то есть не нужно повторно проводить LU-преобразования, а достаточно провести прямую и обратную подстановки.
4. Для уравнений с транспонированной матрицей At X = C решение находится при том же LU-преобразовании. Анализ таких систем уравнений необходим при расчете чувствительности.
Число операций, необходимых для LU-разложения, составляет (n3/3-n/3) и вместе с прямой и обратной подстановками эквивалентно методу Гаусса. Однако он более приемлем через преимущества, указанные выше. Алгоритм LU-преобразование может быть показан в следующем виде:




Алгоритм интегрирования алгебро-дифференциальных уравнений.
В соответствии с изложенным выше алгоритм интегрирования алгебро-дифференциальных уравнений может быть изображен для случая применения ФДН в следующем виде.
Начальные условия для расчета переходного процесса задаются как вектор Х0 при t0 =Tнач.

Сначала задаются следующие величины:
K - порядок метода прогноза (задается равным нулю, а коррекции - равным 1);
hn+1=hнач - начальный шаг интегрирования;
n = 1 - индекс временных итераций;
tn+1=Tнач - начальное время интегрирования;
Ткон - конечное время интегрирования;
Хmax = 1 - начальные значения максимальных значений компонентов вектора X;
maxкit-максимальное число допустимых итераций на шага интегрирования;
emax - локальная погрешность на единицу времени;
e- относительная погрешность вычисления на итерациях Ньютона-Рафсона.

Шаг 1. Пусть tn+1=tn+1+hn+1. Вычислим коэффициенты формул прогноза и коррекции:

Спрогнозируем значения вектора Х прn+1:

,

где i - индекс итерации Ньютона-Рафсона.
Шаг 2. Алгебраизируем компонентные уравнения L и С, используя формулу коррекции:
,

Линиаризируем нелинейные двухполюсники. Определим элементы матрицы Якоби и вектора правых частей, развязываем линейную систему алгебраических уравнений методом, например, LU-разложения. Определяем вектор.
Шаг 3. Вычислим максимальную относительную погрешность на итерации j +1:
e

Шаг 4. , перейти к шагу 5.e < j +1 eПроверим критерий сходимости итераций Ньютона - Рафсона, если ej+1 < e , перейти к шагу 5. В противном случае увеличим индекс итераций j = j +1.

Если j> maxкit, то перейдем к шагу 5 а, иначе перейдем к шагу 2.

Шаг 5. Вычислим локальную погрешность для всех xin+1 вектора и найдем максимальное среди них для метода с текущим порядком k:
число переменных вектора Х.
Если то отвергаем шаг.
Шаг 5 а. Определяем новый шаг hнов = hn+1/2.
Если hn+1 min,, то СТОП: выход на hmin, иначе:
n=n+1,

hn+1=hнов,

tn+1=tn

Перейти к шагу 1.
Если, то перейти к шагу 6.
Шаг 6. Аналогично вычисляются максимальные локальные погрешности для методов порядка k.
Находим среди порядок метода с минимумом максимальной погрешности, и принимаем k = порядке метода с
min (), то есть:

En+1= min ().
Вычислим новый шаг по формуле:

hнов=hn+1

Если hнов min , то h=hmin;

Если hнов >hmax , то h=hmax, іначе h=hнов;

Увеличить индекс временных итераций n=n+1, hn+1=h, tn=tn+1, tn+1= tn+hn+1;

Если tn+1 < Tкон, тo перейти к шагу 1.

Если tn+1 > Tкон, тo hn+1=Tкoн-tn+1 и перейти к шагу 1.
Иначе СТОП. Расчет окончен.

Применение статистической математики для оценки начальной схемной надежности
Непосредственное экспериментальное изучение сложных систем часто требует больших затрат средств и времени, а иногда и принципиально невозможно. Так, например, экспериментальное изучение функционирования сложной системы невозможно до тех пор, пока система не создана и не изготовлена. Между тем, необходимо еще на стадии проектирования системы изучить все ее основные свойства, в частности эффективность ее функционирования с учетом всех действующих на нее случайных возмущений. В таких случаях прибегают к статистического моделирования.
Современная вычислительная техника позволяет имитировать практически без ограничений сложнейшие явления и процессы. Это привело к созданию и развитию метода статистического моделирования как научного метода исследования, позволяющего сочетать теоретические расчеты с имитацией различных экспериментов, а частично и с натурными экспериментами над отдельными элементами исследуемых систем.
Метод статистического моделирования основан на моделировании (имитации) изучаемого на ЭВМ с помощью теоретической зависимости с непосредственным моделированием влияющих на его течение простейших (первичных) случайных факторов и на статистической обработке результатов, получаемых. Основой метода статистического моделирования является моделирование случайных величин с заданными распределениями и событий с заданными вероятностями.
Для построения модели сложных систем приходится прибегать к экспериментальному исследованию самих систем и строить соответствующие модели путем статистической обработки полученных данных.
Модели, полученные на основе статистической обработки результатов экспериментального исследования функционирования систем, будем называть статистическим моделям. Методы построения статистических моделей составляют важный раздел современной математической статистики. Задача построения модели заключается в нахождении соотношений между величинами, описывающими течение данного явления, процесса или функционирования данной системы. Если эти соотношения позволяют по данным значениям одних величин однозначно определить значение других, то модель, описываемая ими называется детерминированной. Если же эти соотношения по данным значениям одних величин определяют другие как случайные величины, то модель, описываемая ими называется стохастической.
При проектировании какой-нибудь сложной технической системы обычно многократно моделируют функционирование системы и действующие на нее воздействия (входные сигналы), вероятность характеристики которых предполагаются известными. Результате моделирования получается ряд реализаций (выборка) всех величин, характеризующих работу системы (выходных сигналов). Статистическая обработка полученных данных дает оценки вероятностных характеристик величин, определяющих качество работы системы (как правило, ее точность). Выполнив моделирование для ряда вариантов и значений параметров системы, можно выбрать для дальнейшей разработки и реализации тот вариант, который наилучшим образом удовлетворяет поставленным требованиям. Математическое ожидание можно оценить со средней квадратической погрешностью 16-19%, а дисперсию - со средней погрешностью 23-27% при n = 30 ... 40. Практически рекомендуется выбирать n = 100, что обеспечит оценки математического ожидания и дисперсии со средними квадратичными погрешностями 10% и 15% соответственно.
Для получения реализации равномерно распределенной случайной величины алгоритмическим путем в ЭВМ вводят произвольное двоичное число, занимающее все разряды или часть разрядов какого-либо элемента оперативной памяти. Над этим числом выполняют ряд простейших операций по специальной программе. Над полученным числом вновь повторяют те же операции и т. д. генерируемого таким образом последовательность двоичных чисел не будет случайной. Однако в достаточно длинном отрезке этой последовательности все числа с данным числом двоичных знаков будут встречаться практически одинаково часто. Поэтому взятое наугад число из этой последовательности можно считать реализацией случайной величины, равномерно распределенной на интервале [0,1]. Благодаря этому свойству такие последовательности называются последовательностями псевдослучайных чисел. Существует много различных алгоритмов и программ формирования псевдослучайных чисел.
В программах АСхП для оценки начальной схемной надежности используют многовариантные методы анализа, часть из которых опирается на методы статистической математики (Монте-Карло, анализ на наихудший случай, анализ чувствительности). Программа АСхП МАЭС-П позволяет проводить анализ чувствительности в статике, динамике и в частотной области. Правила описания задания на анализ на входном языке МАЭС-П изображено в [12,13].
Для расчета коэффициентов параметрической чувствительности в МАЭС-П (частных производных выходных переменных по параметрам двухполюсников) назначен вида анализа:
" ЧУBCTBИTEЛЬHOCTЬ (2)-CTATИKA: ",
" ЧУBCTBИTEЛЬHOCTЬ (2)-ДИНАМИKA: ",
" ЧУBCTBИTEЛЬHOCTЬ (2)-ЧACTOTHЫE XAPAKTEPИCTИKЫ: ".
Коэффициенты чувствительности можно использовать для определения знака влияния двухполюсников на исходную величину и оценки степени этого влияния.
Выполнение расчета выполняется методами выбранными для основного вида анализа (" CTATИKA: ", " ДИHAMИKA (CTATИKA): ", " ЧACTOTHЫE XAPAKTEPИCTИKЫ: "), а сами коэффициенты чувствительности рассчитываются методом моделей.
Для расчета чувствительности необходимо задавать имена параметров двухполюсников, по которым вычисляются частные производные в разделе " варьируемые ПAPAMETPЫ: ".
Программа АСхП МС5 позволяет проводить статистический анализ по методу Монте-Карло (Monte-Carlo) и анализ на наихудший случай (Worst Case). Программа АСхП EWB5.12 позволяет проводить статистический анализ по методу Монте-Карло (Monte-Carlo), анализ на наихудший случай (Worst Case), расчет чувствительности (Sensitivity).Последний вид анализа добавлено в программу МС6.
Для введения анализа на худший случай в среде МС5 необходимо на этапе формирования электрической схемы устройств добавить в модели пассивных и активных компонентов, где необходимо, разброс основного параметра в процентах, затем выбрать вид анализа, задать границы по аргументам, проверить, отключен ли метод вариации по параметру (Stepping), открыть падающее окно Monte Carlo ® Options ..., и задать в разделе Distributions of Use опцию Worst Case. После запуска на анализ открыть падающее окно Monte Carlo ® Histograms ® Add Histogram, и определить в окне функцию, которую нужно вывести в виде гистограммы (Function, Expression).

Этапы формирования задания на анализ по методу Монте-Карло аналогичные этапам на худший случай, но в окне Monte Carlo ® Options ... ® Distributions of Use нужно отметить вид распределения: нормальный или линейный. По горизонтальной оси гистограммы интервалы изменения параметра выходной характеристики, по вертикальной - вероятность в процентах. Можно получить дополнительную информацию в текстовом виде, если открыть окно Monte Carlo ® Statistics, куда, в текстовом виде, занесены результаты статистической обработки.

 

 

© 2018
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру