вход Вход Регистрация



Структура и возможности программ сквозного проектирования устройств электроники. Особенности интерфейса и подпрограммы систем Orcad9.1 и Design Lab8.5. Связь схемотехнической и конструкторской информации в программах сквозного проектирования.

Проектирование электронной аппаратуры представляет собой итерационный процесс, состоящий из этапов функционального проектирования, разработки принципиальной схемы, разработки печатной платы, ее изготовления, проведения испытаний, доработки по их результатам принципиальной или функциональной схемы, внесение изменений в печатную плату и т. д. Процесс осуществляются пока не будут удовлетворены все требования технического задания. С повышением сложности аппаратуры, переходом к более высоким диапазонов частот, применением смешанных аналогово-цифровых приборов число итераций увеличивается. Связано это с тем, что аналитически трудно учесть паразитные эффекты, присущие как электронным компонентам, так и проводникам печатных плат, и их взаимное влияние. Для этого нужно создать сквозной цикл автоматизированного проектирования аппаратуры, включающий в себя моделирование как идеальной схемы, так и реальной конструкции и ее экзаменов при учете различных дестабилизирующих факторов и разброса параметров. Наиболее полно эти задачи решаются на рабочих станциях с применением программного обеспечения корпорации Mentor Graphics, Cadence и др..
В то время, когда производители приборов требующих повышенной точности программы, новые пользователи, среди которых наибольшее разработчиков схем, требуют полной автоматизации и надежности стандартных особенностей. Это требует новых подходов и компромиссных решений при автоматизированном проектировании систем (Computer Aided Design). Современные программы сквозного проектирования поддерживают проект от разработки схемы функциональной до выдачи технологической и конструкторской документации по программам для станков с ЧПУ, учитывающие влияние окружающей среды на характеристики приборов и позволяют оптимизировать параметры устройства на схемотехническом и конструкторском уровне проектирования 21.
Наиболее оптимальными, с точки зрения цена - качество, есть программы, обеспечивающие сквозное проектирование аналогово-цифровой аппаратуры, и функционируют на персональных компьютерах: DesignLab корпорации MicroSim и OrCAD 9.1, которая создана в результате объединения усилий корпораций MicroSim и OrCAD ( 1998),
Orcad (e-mail: Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.) - пожалуй, самый известный представитель нового поколения модифицированной РSpice, в которую добавили технологические возможности (трассировка плат, подготовка конструкторской документации по стандартам ISO9001 и т.д.) с большой библиотекой моделей, числовых параметров и моделей корпусов, стал мощным средством в сквозном проектировании электронных аналогово-цифровых устройств [11] OrCAD 9.0. стал право приемником программы DesignLab, вобрав в себя все преимущества этой системы. Следующие версии OrCAD 9.1. и OrCAD 9.2.отмечаются повышенной мощностью. В состав системы OrCAD 9.2. входит усовершенствованный редактор электрических схем Capture CIS (Component Information System) с централизованной и кружевные системами информации о компонентах (производители, показатели, цена). После прекращения развития пакета DesignLab система OrCAD осталась почти единственным средством сквозного проектирования смешанных устройств на платформе Windows. Конкуренцию ему может составить только пакет Protel 99, работающий в интегрированной среде клиент-сервер Design Explorer австралийской фирмы Protel International (http://www. Protel. сom), но он не обеспечивает обмена данными ни с OrCAD, ни с P-CAD или ACCEL EDA.
Основное нововведение в OrCAD 9.0 по сравнению с Micro Sim DesignLab 8.0 состоит в том, что в ней программа моделирования PSpice и программа построения графиков Probe объединены. Программа идентификации параметров математических моделей (Parts) носит название Model Editor. Еще одна второстепенная изменение: теперь параметры моделирования для каждого проекта заносятся в отдельный файл с расширением имени. sim, что называется профайлом моделирования (в него заносятся значения глобальных параметров моделирования, тип анализа и др.).
Основу системы DesignLab составляет программа PSpice.DesignLab 8.0 (июль 1997 г.) полностью соответствует требованиям программ сквозного проектирования. Кроме стандартного набора функциональных подпрограмм и библиотек, которые позволят спроектировать электронное устройство по техническому заданию (взаимосвязанные программы синтеза, анализа и параметрической оптимизации, библиотеки компонентов и корпусов), система DesignLab 8.0 имеет и дополнительные возможности.
В состав системы DesignLab входят следующие программы:
Schematics - графический редактор принципиальных схем, одновременно является управляющей оболочкой для запуска основных модулей системы на всех этапах работы с проектом;
PSpice A / D - моделирования смешанных аналого-цифровых приборов;
PLSyn - синтез цифровых приборов на базе интегральных схем с программируемой логикой PLD / CPLD;
StmEd - редактор входных сигналов (аналоговых и цифровых);
Probe - графическое отображение, обработка и документирование результатов моделирования;
Parts - идентификация параметров математических моделей диодов, биполярных, полевых и мощных Монт, биполярных статически индуцированных транзисторов (БСИТ), операционных усилителей, компараторов напряжения, регуляторов и стабилизаторов напряжения и т.д. по паспортным данным;
PCBoards и Autorouter - графический редактор многослойных печатных плат и программа авто трассировки SPECCTRA фирмы Cadence (рассчитаны на 6 сигнальных слоев).
MicroSim FPGA - интерфейс с программой Хаста Step 6.0, для проектирования электрических перепрограммируемых ИС фирмы Xilinx.
PSpice - моделирование аналоговых приборов;
PSpice Basics, PSpice A / D Basics + - упрощенные варианты программ моделирования аналоговых и смешанных аналогово-цифровых приборов.
PSpice Optimizer - параметрическая оптимизация аналогово-цифровых приборов по заданному критерию, при наличии нелинейных ограничений;
Polaris - проверка целостности сигнала, проведения моделирования с учетом паразитных емкостей и индуктивностей, присущих реальным печатным платам;
PLogic - моделирование цифровых приборов;
Device Equations - входной текст, встроенных математических моделей полупроводниковых приборов на языке Си.
Filter Designer - синтез пассивных и активных аналоговых фильтров и фильтров на конденсаторах переключаются (только на платформе DOS).
В пакет DesignLab добавляются библиотеки примерно 40 тыс. графических обозначений символов, около 10 тыс. математических моделей компонентов (диодов, стабилитронов, тиристоров, биполярных и полевых транзисторов, опто пар, операционных усилителей, компараторов напряжения, стабилизаторов напряжения, кварцевых резонаторов, магнитных сердечников, цифровых и аналогово-цифровых ИС) и 1000 корпусов компонентов производства фирм США, Западной Европы и Японии. Все библиотеки поставляются вместе с системой DesignLab и могут распространяться и дополняться пользователями. Фирмы-производители электронных компонентов, например, Analog Devices, Philips, Precision Monolithics, Siemense и др. Публикуют сведения о параметрах моделей компонентов в формате SPICE и свободно распространяют, в частности, по сети Internet.
Работа с системой DesignLab конечно, начинается с создания принципиальной схемы с помощью редактора схем Schematics. С управляющей оболочки Schematics возможен вызов других модулей системы, что не исключает их автономного запуска.
Программа Probe вызывается автономно или под управлением Schematics. На экране схемы можно обозначить маркером любое круг или вывод компонента, и в окне программы Probe немедленно будет построен соответствующий график. Графики новых переменных добавляются после выбора их имен из списка, который открывается по команде Trace / Add или нажатием на соответствующую пиктограмму. Математические преобразования над графиками заключаются в выполнении арифметических операций, вычислении функций, взятии интегралов, расчета спектров, гистограмм, измерении параметров формы графиков, построению зависимостей любой характеристики графика от любого варьированном параметра схемы.

 


Рис. 10.1. Структурная схема системы DesignLab.
На рис. 10.1 приведена упрощенная структурная схема системы DesignLab.
При получении навыков работы с системой DesignLab трудностей при усвоении подсистем OrCAD не возникает. Программа имеет почти те же характеристики и подпрограммы. В OrCAD9.2. наибольшие изменения получил редактор схем OrCAD Capture, поскольку в него интегрирован информационную систему компонентов (CIS) и Internet стал неотъемлемой частью системы. На рис.10.2.изображенна взаимосвязь подсистем OrCAD9.2.

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис.10.2. Взаимосвязь подсистем OrCAD9.2.

Связь схемотехнических и конструкторской информации.
По завершении моделирования устройства является возможность спроектировать печатную плату. Для этого в программе Schematics в меню Tools сначала выполняется команда упаковки схемы Package, по команде Configure Layout Editor в качестве редактора печатных плат выбирают PCBoards. Затем по команде Create Layout Netlist создают список сочетаний схемы в формате выбранного редактора печатных плат. После этого вызывают его по команде Run PCBoards.
Перенос информации о схеме на печатную плату осуществляется в программе MicroSim PCBoards по команде Netlist Load меню File. После задания имени файла сообщений на печатную плату переносятся из библиотеки компонентов изображения их корпусов и отображаются линии электрических связей в виде «резиновых нитей». Далее необходимо вручную разместить компоненты на плате. Ручная трассировка проводников выполняется с помощью PCBoards. Автоматическая трассировка выполняется с помощью программы SPECCTRA, загрузка которой осуществляется из меню Tools.
Особенностью систем сквозного проектирования является то, что на схемотехническом этапе кроме информации о модели (параметр) компонента, вид его условного графического изображения на Е3 вводится позиционная отметка символа компонента, состоящая из позиционной отметки корпуса компонента, к которому добавляется имя секции, например : U1A, U1B, U1C, U1D, U2A, U2B.Редактирование меток с учетом распределения секций по корпусам (так называемая процедура "упаковка") выполняется по окончании чертежа схемы вручную или в автоматическом режиме по команде Tools / Package.
Создание схемы в системе DesignLab8.0 начинается с размещения компонентов. По команде Draw / Get New Part открывается диалоговое окно выбора имени компонента. Если в строке Part Name указать символ *, то будет выведен алфавитный список компонентов из всех подключенных библиотек. Необходимым компонентом избирается, после чего изображение его символа выводится в центральном окне, а имя библиотеки, в которой он находится, - в строке Library, одновременно на панели Description выводится краткая характеристика компонента. Нажим кнопки Edit Symbol переводит программу в режим редактирования графического символа компонента. Префикс позиционной отметки компонента задается при создании его символа. Отредактировав атрибут позиционной отметки REFDES, можно называть компоненты по ЕСКД, например: VT1, VT2.
В полных версиях, программы EWB5.12 и МС6, как и DesignLab8.0 и OrCAD9.2 представляют собой системы сквозного проектирования, ибо в их состав входит программа разведения печатных плат. Файл схемы можно экспортировать в Electronics Workbench PCB layout (МС6 PCB), далее автоматически выбираются из библиотеки корпуса элементов, используемых в схеме, и образуется соединение выводов корпусов элементов в соответствии с электрической схемой без участия проектировщика, которому остается только задать параметры разведения ДП (ширина дорожек, шаг сетки, количество слоев платы), и через некоторое время получить готовый результат, что значительно быстрее и лучше, чем с программами разведения ГП сторонних производителей.
Одна из самых мощных систем автоматизированного проектирования на ПК - система P-CAD. В программный комплекс системы P-CAD входят взаимосвязанные пакеты программ: редакторы принципиальных схем и многослойных плат, программы моделирования устройств, автоматического разведения плат, вывода чертежей на принтер, плоттер, вывода данных на оборудование с числовым программным управлением, вспомогательные и сервисные программы, образующие систему проектирования. Преимуществом программ сквозного проектирования перед системой P-CAD является то, что информация, необходимая для создания чертежа печатной платы, автоматически составляется на схемотехническом этапе, внесены изменения отображаются в виде печатной платы, кроме того, возможна обратная связь: после вычисления паразитных эффектов на конструкторском этапе, автоматически модифицируется и начинается параметрическая оптимизация на схемотехническом этапе.OrCAD9.2 автоматически создает перечень материалов (Bill of Materials), список связей и спецификации.

Этапы разработки печатной платы.
Существует несколько способов начать разработку печатной платы. Самый простой состоит в создании списка сообщений схемы и использовании конфигурации PCBoards по умолчанию. Для более сложных плат необходимо вводить дополнительные слои и настраивать конфигурацию программы в соответствии с особенностями платы. Не существует строго определенного порядка выполнения отдельных операций по разработке печатной платы. Однако, полезно придерживаться определенной последовательности. Опишем кратко две ситуации.
1. Разработка двухслойной печатной платы, схема которой создана в Schematics. Самый простой способ начать разработку печатной платы - перенести информацию о компонентах и ​​электрические соединения из схемы на двухслойную печатную плату.

В общем случае выполняются следующие шаги:
а) в Schematics создается принципиальная схема, на которой задаются правила размещения компонентов (с помощью атрибутов СОМР_Х COMP_Y, COMP_ANGLE, COMPJ-AYER определяются координаты на плате некоторых компонентов, угол ориентации и имя слоя) и правила трассировки цепей (с помощью атрибутов NET_TRACE_WIDTH , NET_CLEARANCE, NET_PADSTACK, NET_PRIORITY определяют ширину проводника и допустимый зазор, имя файла контактных площадок и приоритет разведения);
б) в Schematics упаковывают схему и создают файл списка соединений по команде Tools / Annotate, включая опцию Package and Assign Reference Designators;
в) в PCBoards загружают файл списка соединений: File / Netlist / Load (или загружают PCBoard непосредственно с Schematics по команде Tools / Run PCBoard), в результате на экран переносятся изображения корпусов и электрические связи;
г) в PCBoards наносят физические границы печатной платы по командам меню Draw на слое [BoardOutline] и границы области разведения в виде многоугольника с командами Draw / Board Signal Keepin на слое сигналов.
Компоненты затем вручную размещают на плате с помощью операций перемещения (обозначая их и "буксуя" мышью), поворота (по команде Edit / Rotate или натиском Ctrl + R) и переноса компонентов (с планарными и штыревыми выводами) на нижнюю сторону платы за командой Edit / Flip (или нажатием Ctrl + F). Для упаковки схемы на печатную плату с предварительно размещенными компонентами сначала загружается файл этой платы и после этого выполняется команда File / Netlist / Load.
Чертежи печатных плат на принтере / плоттере / фотоплоттера и сверлильных станках с ЧПУ начинается с выполнения команды File / Job Setup. При первом исполнении этой команды задания на вывод данных генерируются автоматически. В последующих сеансах - нажимом на кнопки Auto (Авто), New (Новое задание), Copy (Копирование задачи) и Import Jobs (Импорт задания из файла). На панели Job Selection выбирается тип данных: Drill - сверлильный станок с ЧПУ, Photoplot - фотоплоттера, Print - принтер / плоттер.

Программа расчета паразитных эффектов печатных плат Polaris
В DesignLab можно моделировать схемы с учетом паразитных эффектов, связанных с неидеальностью конструкции реальной печатной платы: задержками распространения сигналов, паразитными емкостями проводников и переходных отверстий, индуктивностями и взаимными индуктивностями проводников. В литературе эта проблема называется проверкой целостности сигналов в высокочастотных схемах. Последовательность проектирования следующая. С помощью Schematics создается принципиальная схема, сначала разрабатывается без детального учета паразитных эффектов и моделируется с помощью PSpice. После этого информация о списке соединений схемы передается в собственный редактор печатных плат PCBoards системы DesignLab или в виде текстового файла - в другие системы проектирования печатных плат (P-CAD, ACCEL EDA, PADS, CADStar или TangoPRO). Информация о топологии разработанной печатной платы передается обратно в DesignLab - применительно к P-CAD в виде текстового файла в формате PDIP (с расширением имени. Pdf). После этого программа проверки целостности сигналов Polaris изображает указанные пользователем круга в виде линий передачи, аппроксимирующих их средством конечных элементов, включает паразитные элементы к первоначальной схемы и передает ее в PSpice для моделирования. С помощью программы Probe на одном экране просматриваются результаты моделирования без учета паразитных эффектов и с их учетом.
Polaris вызывается из управляющей оболочки Schematics по команде Run Polaris в меню Tools. На основной панели диалога Polaris назначается опция Native и после этого нажимается кнопка Polaris Setup для настройки конфигурации. Программа Polaris позволяет моделировать прохождение сигналов в реальных печатных платах на основе подробных моделей всех электронных компонентов (транзисторов, операционных усилителей, цифровых интегральных схем и проч.), что требует существенных затрат времени.

Случайные новости

6.2. Элементы математической статистики и определения случайных погрешностей

Явление возникновения случайных погрешностей вследствие действий многочисленных факторов носит непредусмотренный , непрогнозированный характер и потому на данное время развития науки корректное определение и вычисление результатов измерения могут быть проведены только с помощью положений теорий достоверности и математической статистики. Как известно , классическая теория вероятностей оперирует с беспрерывными величинами , исходя из того, что число случайных величин приближается к бесконечности. В то же время при проведении реальных измерений число отдельных наблюдений есть оконченным и может быть довольно небольшим числом ( от 2 до100). Вследствие этого необходимо внимательно и корректно оценивать результаты применения выше обозначенных дисциплин. С появлением мощных математических пакетов для инженерных расчетов таких как , например ,Маthcad , Matlab , которые имеют в своем составе почти весь перечень статистических функций , применение печатных таблиц ,которые содержат табулированные значение разных статистических функций может иметь место только с учебной целью.

Приведем некоторые математические выражения и их определение а также понятие математической статистики , употребляемых в метрологических исследованиях . При этом объяснительные графики строятся с применением статистических функций пакету Mathcad.

Генеральная совокупность

Под генеральной совокупностью понимается совокупность всех возможных значений измеренной или исследуемой случайной величины X , то есть самая эта величина.

Выборочная совокупность или выборка –совокупность тех значений случайной величины , которая есть в нашем распоряжении , например результаты при n наблюдениях измеренной величины.

Интегральная функция распределения

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость достоверности того, что результат, наблюдение Xi в i-м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения X , от самой величины х:

Fx (x) = P{Xi ≤ x} = P{-∞ < Xi. ≤ x} (5)

Литера Р означает достоверность события, описание которой расположенный в фигурных дужках.

Если рассматривать результат отдельного наблюдения Xi как случайную точку на оси Ох (рис. 1), то значение интегральной функции распределения в точке х' численно равняется достоверности того, что случайная точка Хi в результате i-гo измерение займет некоторое положение левее, чем точка х'.

 


0 Xi x' x

 

Рис.3

Эти вероятности, очевидно, разные для разных точек х'. При перемещении точки х' вправо вдоль числовой оси, достоверность того, что в результате измерения точка Xi расположится левее х', не может уменьшаться. Итак, интегральная функция распределения результатов наблюдений является функцией аргумента ,который не уменьшается При дальнейшем увеличении координаты х' событие Xi ≤ х' становится все более и более достоверным, а его достоверность асимптотично приближается к единице. При перемещении точки х' влево вдоль числовой оси Ох достоверность события Xi ≤ х' может только уменьшаться или оставаться постоянной в некоторых интервалах значений х'. В границе при х' —> −∞ это событие становится невозможной, и его достоверность хочет к нулю.

За обычай график интегральной функции распределения результатов наблюдений является беспрерывной кривой, которая не уменьшаются , начинается от нуля на негативной бесконечности и асимптотаа которой приближается к единице при увеличении аргумента к плюс бесконечность (рис. 4).

 

 

 

 


 

1,0

 

 

 

 

 

 

00,5

 

 

 

 

 

X

 

 


 

0,0
Q

 

 

 

Рис.4

Часто при х = Q интегральная функция распределения имеет точку перегиба. Тогда, если в точке перегиба интегральная функция распределения принимает значение, которое равняется половине, говорят о симметричности распределения результатов наблюдений относительно действительного значения измеренной величины.

Непрерывность интегральной функции распределения результатов наблюдений воссоздает собой тот казалось бы очевидный факт, что результат наблюдения может принять любое к опыту выбранное значение только с нулевой достоверностью.

Случайную погрешность δ также нужно считать случайной величиной, которая принимает в разных наблюдениях разные значения δi Интегральная функция распределения погрешности имеет аналогичный вид при смещении начала координат в точку x = Q.

Fδ(δ) = Р{δi ≤ δ} = P{Xi − Q ≤ x − Q} = Р {Х,< х}. (6)

Дифференциальная функция распределения

Учитывая вероятный характер распределения случайных погрешностей для лучшего представления характера их расположение возле истинного значения измеренной величины Q в теории достоверности применяют понятие плотности распределения вероятностей , которую именуют дифференциальной функцией распределения и обозначают через px(x) для измеренной величиниX или pδ (δ) для погрешности δ.

Дифференциальная функция распределения является функцией, производной от интегральной за своим аргументом:

px(x) pδ(δ) (7)

График дифференциальной функции распределения, которое называется кривой распределения, имеет колоколоподобную форму с максимумом при X = Q и соответственно при δ =0.

Эти кривые приведенные на рис. 5,6

 


 

Рис.5 Рис.6

На приведенном рисунке 5 р(х) максимум характеристики проходит через значение измеренной величины Xi , которое равняется истинному значению Q.

На рисунке 6 р(δ) максимум характеристики проходит через значение погрешности δ=0.

От дифференциальной функции распределения можно перейти к интегральной путем интегрирования первой:

Fx (х) = px (х) dx; Fδ (δ) = pδ (δ) dδ. (8)

Анализируя определение интегральной функции распределения а также учитывая

,что Fx(+∞) = 1 ,можно считать верным :

px(x) dx = p δ(δ) dδ =1. (9)

Другими словами можно сказать ,что предельное значение интегральной функции равняется площади , которая содержится между кривой плотности достоверности интегральной функции распределения и осью абсцисс при неконченых границах интегрирования.

Интервалы значений измеренных величин (x1 ; x2) или погрешностей (δ1 ; δ2 );

Если имеем ограничение значений измеренной величины (x1 ; x2) или погрешности (δ1 ; δ2 ) , то учитывая определение интегральной функции распределения можем определить:

Р{ х1<Х ≤ х2 } = Р{ -∞ < X ≤ x2 }-P{-∞ < X ≤ x1}=

=Fx(x2)- Fx(x1), (10)

P{ δ1 < δ ≤ δ2} = P{- ∞< δ ≤ δ2} − P{ − ∞ < δ ≤ δ2 } =

=F δ2) −F δ1), (11)

Приведенные формулы означают , что достоверность нахождения результата наблюдений или случайной погрешности в заданном интервале равняется различию значений интегральной функции распределения на границах этого интервала.

Учитывая формулу (8) и переходя к плотности распределения вероятностей (дифференциальной функции распределения p(x) и p(δ) , получим:

 

Р {х1 < Х ≤ х2} = px (х) dx − px (x) dx = px (х) dx, (12)

P{ δ1< δ ≤ δ2}= pδ (δ)dδ − pδ (δ)dδ = pδ (δ)dδ (13)

Таким образом, достоверность попадания результата наблюдения или случайной погрешности в заданный полуоткрытый интервал равняется площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к нее на границах этого интервала.(рис. )

Рис.5 Рис.6

 

Виделенные выражения px (х) dx, pδ (δ )dδ именуют элементами достоверности. Они равняются вероятностям того , что случайные величины δ и Х смогут принять некоторое значение в интервалах и dx и потому по форме кривой распределения можно сказать о том , каких интервалах значений случайных погрешностей более или менее вероятные.

Математическое ожидание результатов наблюдений:

Анализ приведенных кривых дает возможность сделать вывод , что результаты наблюдений сконцентрированные вокруг истинного значения измеренной величины и при приближение к нему элементы вероятности их возникновения возрастают . Таким образом математическое ожидание можно трактовать как наиболее достоверное значение измеренной величины. Математическое выражение для определения математического ожидания имеет вид:

(14)

Физически математическое ожидание можно трактовать как центр тяготения геометрической фигуры, образованной кривой распределения и осью абсцисс.

Исходя из уравнения для математического ожидания, можно сделать более основательные определения систематической и случайной погрешностей.

Систематической погрешностью называется различие между математическим ожиданием результатов наблюдений и истинным значением измеренной величины:

(15)

Случайная погрешность — различие между результатом единичного наблюдения и математического ожидания результатов:

(16)

Исходя из приведенных определений можно вывести истинное значение измеренной величины:

(17)

.Моменты случайных погрешностей ;

В большинстве случаев для уменьшения трудоемкости анализа погрешностей измерения пользуются ограниченным числом специальных величин, которые называются моментами .

Начальным моментом к-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида:

(18)

что является математическим ожиданием степени Xk. Из выражения (18) вытекает , что начальный момент первого порядка совпадает с математическим ожиданием результатов наблюдений:

 

a1[X] =mx = M[X} (19)

Центральным моментом к-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида:

(20)

который является математическим ожиданием величины (X - тх), то есть случайной погрешности к-и

степени.

Первый центральный момент равняется нулю.

Дисперсия распределения случайных величин.

Второй центральный момент имеет вид:

μ2[X] = (x-mx)2 px(x)dx = δ2 pδ(δ) dδ ( 21)

Второй центральный момент именуется дисперсией распределения случайных погрешностей и равняется дисперсии распределения результатов наблюдений .

Физически дисперсия определяет их рассеяние относительно математического ожидания.

Дисперсия результатов наблюдений и погрешностей обозначается как:

D[X] = D[δ] = M[(X - mx )2 = M[δ2] = (x-mx)2 px(x)dx = δ2 pδ(δ) dδ (22)

Дисперсия распределения имеет размерность квадрата измеренной величины, поэтому она неудобная для пользования. Значительно чаще в расчетах используется положительное значение квадратного корня из дисперсии, которое называется средним квадратичным отклонением результатов наблюдений:

(23)

Для характеристики рассеяния результатов наблюдений чаще всего используется математическое ожидание и дисперсия, поскольку они определяют самые важные признаки распределения: положение центра распределения и степень рассеяния результатов измерений относительно истинного значения измеренной величины.

С помощью среднего квадратичного отклонения можно оценить достоверность того, что при одноразовом наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превысит некоторой , заведомо заданной величины ε, то есть достоверность:

Р {| δ| < ε }.

Для этого запишем выражение для дисперсии распределения случайной погрешности:

σ2x =D[X] = δ2p δ(δ)dδ . (24)

Если сузить границы интегрирования , то правая часть равенства срастить не может. Поэтому имеет место следующая неровность:

σ2x ≥ δ2pδ(δ)dδ + δ2pδ(δ)dδ. (25)

Выполнивши ряд превращений в конечном результате получим :

P{| δ| > ε} < (26)

Это выражение известное как неровность Чебишева .Используя его , найдем достоверность того, что результат одноразового наблюдения отличается от действительного значения на величину, большую тройного среднего квадратичного отклонения, то есть достоверность того, что случайная погрешность окажется большей 3σx

Р{|δ|> Зσx } < = ~ 11%.

Достоверность того, что погрешность измерения не превысит 3σx имеет вид

Р{|δ| < Зσx } ≥ 1 - ~ 89 %. (27)

Неровность Чебишева дает только нижнюю границу для достоверности Р{| δ|< ε}, меньше которой она не может быть ни при которому распределении. За обычай Р{|δ| < Зσx } значительно больше 89%. В большинстве практических случаев вкрай редко встречаются погрешности большие чем ± 3σx , поэтому интервал

(—3σx + 3σx) полагает интервалом практически возможных значений случайной погрешности.

 

Нормальный закон распределения (закон распределения Гаусса).

В практике измерений применяются разные законы распределения случайных погрешностей: треугольный, трапециевидный, прямоугольный, симметричный, нормальный. Однако самое большое значение имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса). Главная особенность нормального закона распределения заключается в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при типичных для измерения условиях, при n—>∞ . Теорией вероятностей приходится, что плотность вероятностей суммы независимых малых составляющих при неограниченном увеличении их числа приближается к нормальному закону распределения независимо от того, какие законы распределения имели эти составные. Если учесть, что случайная погрешность является результатом действия большого количества случайных факторов, роль каждого с которых при точных измерениях небольшая, то становится понятным значение нормального закона в теории измерений.

Чаще всего при изучении случайных погрешностей используется нормальный закон распределения, дифференциальная функция которого описывается уравнением:

(29)

 

 

 

 

 

Рис.7

На рис. 7 приведенный график нормального распределения случайных погрешностей Р(δ). Кривая распределения симметричная относительно оси О Р(δ). Максимальная величина вероятностей равняется

и достигается в точке О. При отдалении от точки 0 ( влево или вправо) достоверность Р(δ) уменьшается и асимптотично приближается к нулю, а вероятность больших случайных погрешностей возрастает.

Для дифференциальной функции распределения результатов наблюдений это уравнение приобретает более общий вид:

, (30)

где mx – математическое ожидание ;

σx- среднее квадратичное отклонение результатов наблюдений.

В пакете Mathcad дифференциальная функции нормального распределения

обозначается как dnorm(x,μ,σ) , где x-аргумент , μ – математическое ожидание , σ – среднее квадратичное отклонение. В качестве примера, приведем построение графику дифференциальной функции нормального распределения при следующих параметрах:

диапазон значений x = 0…50

математическое ожидание μ = 25

среднее квадратичное отклонение σ = 1

 

рис.8

Значительное распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, которая есть одной из выдающихся математических теорем, разработанных выдающимися математиками: А. де Муавром, П. де Лапласом, К.Ф. Гауссом, П.Л. Чебишевим, А. Г. Ляпуновим и др.

.Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близким к нормальному каждому разу, когда результаты наблюдений будут формироваться под влиянием большого количества независимых факторов, каждый с которых взыскивает лишь незначительное влияние сравнительно с суммарным влиянием других.

Рис.9

На рис.9приведенные кривые дифференциальной функции нормального распределения для разных значений среднего квадратичного отклонения σ1 < σ2 < σ3

При уменьшении среднего квадратичного отклонения σ1 < σ2 < σ3 границе распределения результатов суживаются (рис.9), а вершина дифференциальной функции поднимается вверх. Вероятность возникновения малых погрешностей увеличивается, а больших — уменьшается, то есть уменьшается рассеяния результатов измерения относительно действительной величины и возрастает точность измерения. Чем точнее выполнено измерения, тем выше будет подниматься кривая распределения случайных погрешностей и будет уменьшаться значения среднего квадратичного отклонения.

Как отмечалось выше , дифференциальные функции распределения только указывают на характер распределения погрешностей , в то время как практический интерес лежит в плоскости вычисления достоверности результатов полученных измерений в заданном интервале значений измеренной величины. Эта операция может быть выполнена при интегрировании дифференциальной функции распределения вследствие чего мы получим интегральную функцию распределения достоверности .

Вычисление достоверности попадания результата наблюдений в некоторой заданный интервал

(x1 ; x2) имеет вид :

P { x1 2 } = px(x) dx = (31)

Непосредственное применение этой формулы при использовании конкретных единиц измеренных величин встречает довольно большие трудности. С целью их преодоления переходят на относительное (нормированное) представление сменных .Для этого заменяют сменные:

; ; , (32)

Анализ этих выражений показывает ,что сменная t не зависит от конкретных единиц измерения и таким образом полученные в дальнейшем математические выражения являются нормированными и универсальными относительно будь которых измерений.

После замены сменных в ( 31) получим следующую формулу для искомой достоверности:

P{x1 2) = = (33)

Для более наглядного представления относительно нормированной нормальной интегральной функции распределения на рис.10. приведенная эта функция , которая вычислена в программе Mathcad

 

 

 

 


 


Рис..10

 

 

Интегралы, которые определенные в квадратных дужках не исчисляются в элементарных функциях и их вычисляют с помощью так называемого нормированного нормального расспределения с дифференциальной функцией :

p(t) = (34)

График этой функции , построенный с помощью программы Mathcad приведенный на рис.11

 

Мал.11

При ручном образе вычислений пользуются специальными таблицами табулированных дифференциальной и интегральной функций нормального распределения. Интегральная функция нормального распределения определяется как:

 

Φ(z) = (35)

Достоверность, определенную за формулой ( 35) с помощью функции Ф(z) вычисляют за следующей формулой :

P { x1 < X ≤ x2 } = Ф(t2 ) – Ф (t1) = - (36)

( При применении фомулы (35) необходимо осознавать , что верхняя граница интегрирования z тождественная фиксированному значению нормированной сменной t.

Применяя формулу (36) надо иметь в виду тождественность :

Ф(z) ? 1 - Ф( - z ) (37)

Квантилы (функции , обратные к функциям распределения).

В приложениях часто бывает необходимо для заданного значения достоверности α найти те значения х, при которых выполняется равенство G(х)= α. Это значения х называют "квантилем" , что отвечает уровню достоверности α , или коротко — α- квантилем распределения. Чтобы вычислить

α – квантиль , необходимо знать функцию, обратную к функции данного распределения Обратные функции распределения достаточно полно реализованные в Маthcad и безупречно работают при численном определении квантилей . Однако при вычислении квантилей нужно учитывать следующее обстоятельство:

При использовании функций, обратных к функциям распределения, нужно точно соблюдать порядок аргументов. Поскольку иногда они могут иметь два параметра, которые обозначают достоверность (например, для биномиального распределения). Достоверность α, для которой определяется квантиль, всегда является первым аргументом обратной функции распределения. После нее указывается остальные параметры, которые характеризуют данное конкретное распределение.

Отличие в именах функций распределения и обратных к ним функций. как и раньше, состоит в первой букве идентификатора функции. В обратных функциях первая буква имени — это q (quantil) вместо г. Так для нормального распределения функции , которая обозначается как pnorm(x,μ,σ) обратная функция имеет вид qnorm(α, μ, σ) . В качестве примера на рис.12 приведенный порядок определения квантиля xр по заданной функции распределения F(x).

 

Рис.12.

© 2019
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру