вход Вход Регистрация



До сих пор, рассматривая оптические квантовые переходы, мы говорим о двух энергетических уровнях Еi и Ек, изображая их в виде тонких горизонтальных линий и приписывая им строго определенные значения энергий. Переходы между такими уровнями приводят к излучению бесконечно узкой спектральной линии.

В действительности подобная ситуация невозможна хотя бы по той причине, что время жизни микрочастиц t в возбужденном состоянии конечно, т.е. t ? 0, t?¥. Неопределенность энергии состояния в соответствии с соотношением неопределенностей [1]

ΔΕΔτ≥ћ (1.5)

Рисунок 1.5 - Уширение спектральных линий.

приводит к неопределенности частоты перехода, равной

Постоянная времени τ является мерой времени, необходимой для того, чтобы возбужденная система отдала свою энергию. Значения τ определяется скоростями спонтанного излучения и безизлучательных релаксационных переходов.

Наблюдается уширение соответствующего энергетического уровня на величину ΔΕ (см. рис. 1.5). Спектральная линия излучения в этом случае характеризуется шириной( или полушириной) линии Dn, т.е интервалом частот, в пределах которого интенсивность излучения уменьшается вдвое относительно максимальной величины на частоте n0.

Распределение интенсивности излучения по частоте в пределах данной линии описывается нормированной функцией g(n), которая называется формфактором спектральной линии или просто формой (контуром) линии. Функция g(n) нормируется таким образом, что . Минимально возможная ширина спектральной линии называется естественной шириной линии излучения, наблюдается для системы неподвижных, не взаимодействующих друг с другом микрочастиц, время жизни которых в возбужденном состоянии обусловленно процессами спонтанных переходов. Поэтому естественная ширина линии Dnест определяется вероятностью спонтанных переходов Aik.

Рисунок 1.6 – Гауссова (1) и Лоренцева (2) формы линий

Так как Aik~n3и в видимой области спектра составляет величину около 108с-1 [3] для разрешенных переходов, типичное значение Dnест @ 10-20 МГц. Для переходов с метастабильных уровней естественная ширина линий не превышает нескольких сотен герц.

Контур линии спонтанного излучения (рис.1.6) описывается функцией Лоренца и имеет вид резонансной кривой с максимумом на частоте n0, спадающей до половины пиковой величины при частотах

n=n0 ± Dnест/2.

Ширина такой линии равна [2]

. (1.6)

Спектральные линии, наблюдаемые в реальных условиях, значительно шире естественных, поскольку в системах с дискретными уровнями энергии, кроме спонтанных и вынужденных переходов, существенную роль играют релаксационные безизлучательные процессы. В зависимости от конкретной ситуации механизм таких процессов может быть связан с соударениями между молекулами газа или жидкости, бесстолкновительным взаимодействием между ионами и кристаллической решеткой и др. В конечном итоге происходит увеличение скорости обмена энергией между частицами, что эквивалентно уменьшению времени их жизни в возбужденном состоянии и, следовательно, дополнительному уширению линии излучения. Форма спектральной линии, уширенной за счет столкновений, описывается функцией Лоренца, как и при естественном уширении, только вместо t необходимо использовать время релаксации tр, определяемое процессами столкновений.

Все виды уширения спектральной линии, обусловленные конечностью времени жизни возбужденных состояний, относятся к однородному уширению. При однородном уширении спектральная зависимость g(ν) характеризует как отдельно взятую микрочастицу, так и всю их совокупность. Другими словами, линии каждой микрочастицы и всей среды в целом уширяются одинаково. Однородно уширенные линии имеют лоренцеву форму.

Уширение называют неоднородным, если резонансные частоты νoi отдельных частиц не совпадают и распределены в некотором частотном интервале, что приводит к уширению линий системы частиц в целом при значительно меньшем уширении линий отдельных частиц. Следовательно, неоднородное уширение присуще не каждой отдельно взятой частице, а проявляется как коллективное свойство, обусловленное независимым поведением частиц, находящихся в неодинаковых условиях.

Классическим примером неоднородного уширения является доплеровское уширение, характерное для газов при невысоких давлениях. Как известно, суть эффекта Доплера [6] заключается в том, что частота излучения, воспринимаемая неподвижным приемником, зависит от скорости и направления движения излучателя.

Если частица, излучающая на частоте ν0, движется относительно приемника со скоростью , то приемник в зависимости от направления движения частицы воспринимает частоты в диапазоне от

до

,

где - частота излучателя,

с - скорость света,

– скорость движения излучателя относительно приемника

Хаотичность теплового движения частиц газа приводит к тому, что вместо одной уширенной линии с резонансной частотой ν0 приемник воспринимает совокупность таких плотно расположенных линий, огибающая которых дает контур доплеровски уширенной линии газа. Естественно, ее форма будет определятся распределением частиц газа по скоростям . При максвеловском распределении по скоростям форма линии описывается функцией Гаусса (рисунок 1.6 [3])

Ширина спектральной линии при доплеровском механизме уширения равна [1]:

g , (1.7)

где М- масса атома (молекулы газа)

νg- доплеровская частота.

Роль доплеровского уширения особенно значительна в оптическом диапазоне при повышенных температурах.

В реальных условиях, как правило, действует одновременно несколько механизмов уширения. При преобладании одного из них наблюдаемая спектральная линия уширена однородно или неоднородно и имеет лоренцеву или гауссову форму. После установления формы спектральной линии g(ν) можно определить в явном виде спектральную зависимость коэффициентов Эйнштейна [1].

Форм фактор определяет связь между дифференциальными и интегральными коэффициентами Эйнштейна.

aik(ν) = Aik*g(ν),

bik(ν)= Bik*g (ν),

bki(ν)= Bki*g(ν),

где aik(ν), bik(ν), bki(ν) - дифференциальные коэффициенты,

Aik*, Bik* , Bki* - интегральные коэффициенты.

Введенные ранее коэффициенты Эйнштейна носят интегральный характер, поскольку связаны лишь с фактом испускания или поглощения фотонов в результате соответствующих квантовых переходов. На самом деле эти коэффициенты частотно зависимы. В связи с этим пользуются дифференциальными коэффициентами, обозначенными малыми буквами aik(ν), bik(ν), bki(ν). Все ранее выведенные соотношения справедливы и для них.

Случайные новости

8.5 Логарифмический частотный критерий устойчивости.

Построение АФЧХ сложных САУ требует много времени. Исследование устойчивости САУ значительно упрощается при использовании логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ), что объясняется простотой их построения и явной связью параметров системы с видом этих характеристик. Он также дает возможность сравнительно просто определить характеристики корректирующего устройства для обеспечения нужных показателей качества САУ. С помощью этого критерия определяется устойчивость замкнутой САУ по взаимном расположении ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Базируется он на критерии устойчивости Найквиста.
Формулируется этот критерий следующим образом: САУ, которая устойчива в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если ордината ЛФЧХ на частоте среза зр. (Точка пересечения ЛАЧХ с осью частот) по абсолютной величине меньше, чем 1800.
На рис.8.8 изображены ЛАЧХ и ЛФЧХ двух САУ, которые отличаются только коэффициентом усиления (передачи). При этом устойчивая САУ имеет ЛАЧХ с отметкой 1, а неустойчивая - с пометкой 2.


Рис 8.8 ЛЧХ САУ (1-неустойчивой, 2 - стойкой)

САУ находится на грани устойчивости, если на частоте среза сдвиг по фазе равен минус 1800 электрических градусов.
С рис.8.8 легко определить запас устойчивости по амплитуде ΔL, который определяется как количество децибел, на который нужно увеличить усиления системы, чтобы система достигла предела устойчивости.
Запас устойчивости по фазе Δφ определяются как разница между 1800 и абсолютным значением ЛФЧХ на частоте среза, т.е. Δφ = 1800 - φ (зр.). Считают достаточным запас устойчивости по фазе - 300 (желательно ≥ 450), по амплитуде - 6 ÷ 12дБ.
Если среднечастотная участок ЛАЧХ (в районе зр) имеет наклон минус 20дб/дек., А ее длина ≥ 0,75 дек, то система устойчива, а ее запас устойчивости по фазе более 600.
Для клювовидной и более сложных по форме частотных характеристик удобнее пользоваться более общей формулировки этого критерия: САУ, которая устойчива в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если разница между количеством положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через прямую "-1800" равна нулю в диапазоне частот, в котором ЛАЧХ положительная.
На рис.8.9 изображены ЛЧХ трех САУ, которые отличаются только коэффициентом усиления. При этом ЛАЧХ с пометкой 2 соответствует устойчивой системе, а ЛАЧХ с отметками 1,3 - неустойчивым системам.


Рис 8.9 клювовидную ЛЧХ САУ

8.6 Построение ЛЧХ САУ.
Существует три основных методики построения ЛЧХ САУ в разомкнутом состоянии.
8.6.1 В передающей функции САУ в разомкнутом состоянии заменяем "р" на "j", избавляемся от мнимости в знаменателе (умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряженное выражение знаменателю передаточной функции), разделяем передаточную функцию на действительную и мнимую части.
Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ вычисляют значения L () и φ () для частот от нуля до плюс ∞ и строят графики в логарифмическом масштабе
(8.21)
(8.22)
(8.23)
Но такой путь достаточно трудоемок.
8.6.2 По второй методике строятся ЛЧХ отдельных звеньев САУ, которые затем добавляются (суммируются). Рассмотрим это на примере САУ, состоящей из последовательно соединенных пропорциональной, интегрирующей и двух апериодических звеньев. Передаточная функция такой САУ в разомкнутом состоянии:
(8.24)
Заменяя "р" на "j" получим комплексную передаточную функцию
(8.25)
Учитывая, что модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей, можем записать:
(8.26)
(8.27)
Тогда для ЛАЧХ системы записать:
(8.28)
Т.е. ЛАЧХ САУ равна сумме ЛАЧХ последовательно включенных звеньев. Для построения ЛАЧХ системы необходимо сначала построить ЛАЧХ отдельных звеньев, которые приведены в разделе 6 настоящего конспекта, или в любом учебнике по ТАУ. Образец построение ЛЧХ показано на рис. 8.10.

 

 

Первое слагаемое выражения (8.28) графически изображается прямой L1 (), проведенной параллельно оси абсцисс на уровне 20lgKp (это ЛАЧХ пропорционального звена). Второе слагаемое L2 () =- 20lg изображается прямой с наклоном минус 20дб/дек, пересекая ось "0дБ" при частоте = 1 (это ЛАЧХ интегрирующей звена с коэффициентом передачи, равным единице). Третий и четвертый слагаемые изображается горизонтальными отрезками и отрезками с наклоном минус 20дб/дек, соединенными на частотах сочетаний и соответственно (это ЛАЧХ двух апериодических звеньев с коэффициентом усиления равными единице). ЛАЧХ системы, полученной добавлением ординат ЛАЧХ отдельных звеньев, изображена рис. 8.10 ломаной L (): АВС.
8.6.3 Но проще при построении ЛАЧХ системы не строить ЛАЧХ отдельных звеньев, а следовать следующей методики.
1. Определяют частоты сочетаний 1, 2 ... n (для рассмотренного примера,) и откладывают их на оси частот - рис.8.10;
2. На частоте = 1 откладывают ординату величиной 20lgKp, где Кф - коэффициент усиления системы (точка А);
3. Через точку А проводят прямую с наклоном минус, где υ - порядок астатизма системы (для нашего случая υ = 1), в первую частоты сопряжения 1 (точка В). Этот отрезок будет низкочастотной асимптотой ЛАЧХ системы. Если окажется, что первая частота сообщения 1 <1, то через точку А пройдет продолжение низкочастотной асимптоты;
4. После каждой из частот сообщения и необходимо изменять наклон ЛАЧХ на минус 20дб/дек, если частота сочетания определяется постоянной времени множителя (Tj +1) знаменателю передаточной функции, и на плюс 20дб/дек, если эта частота определяется постоянной времени множителя (Tj +1 ) числителя.
В рассмотренном примере все эти множители находятся в знаменателе, поэтому при 1 и 2 необходимо менять наклон ЛАЧХ на минус 20дб/дек. При наличии колебательной звена наклон ЛАЧХ меняется на минус 40дб/дек.
Частота зр, при которой модуль комплексной передаточной функции системы A () = 1 называется частотой среза. Учитывая что, частотой среза зр будет частота, при которой ЛАЧХ пересекает весь "0" дБ.
ЛФЧХ системы может быть получена так же, как и ЛАЧХ системы, простым добавлением ординат ЛФЧХ отдельных звеньев (рис.8.10). Следует отметить, что наличие в числителе множителя (Tj +1) указывает на реальное дифференцирующее звено в системе. ЛФЧХ такого звена является зеркальным отражением ЛФЧХ апериодического звена, т.е. при частоте сдвиг по фазе равен плюс 450 и т.д. Можно также построить ЛФЧХ системы по формуле 8.27, изменяя частоту от нуля до плюс ∞.

© 2019
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру