Авторизация

вход Вход Регистрация





Случайная статья

Общее программное обеспечение АСхП

Требования к общему программному обеспечению АСхП. Операционные системы, средства офисной поддержки. 32-разрядная организация данных.Программное обеспечение АСхП состоит из прикладного (сами...



Рассмотрим два метода исследования движения жидкости, предлагаемые Лагранжем и Эйлером.

2.3.1 Метод Лагранжа

Движение одной частицы жидкости можно задать системой трех уравнений:

.

Для задания движения всех частиц потока жидкости потребовалось бы бесконечное множество таких уравнений. Каждая частица жидкости в начальный момент времени находится в определенной точке пространства, определяемого начальными координатами . Выбирая начальные координаты, тем самым мы выбираем в потоке жидкости определенную частицу. Текущие координаты этой частицы будут другими, чем текущие координаты частицы с другими начальными координатами. Таким образом, считая начальные координаты переменными, движение потока жидкости может быть задан следующей системой уравнений:

 

(2.1)




Текущие координаты произвольной частицы жидкости в потоке есть функции четырех переменных,
Скорости и ускорения частиц жидкости при движения способом Лагранжа определятся следующим образом:


При исследовании движения способом Лагранжа геометрическими характеристиками движения потока жидкости будут траектории и линии отмеченных. Траектории движения частиц жидкости можно получить, исключив время системы уравнений (2.1).


2.3.2 Метод Эйлера.



Рассмотрим движение частиц в некоторой области. В каждой точке этой области в заданный момент времени частицы жидкости имеют скорости. Вся совокупность векторов, изображает определенные скорости, составляет так называемое векторное поле скоростей ( см. Рисунок № 2.1). Координаты точки зафиксированы, то есть со временем не меняются. Так же координаты других точек пространства не меняются. Если движение жидкости устойчивое, т.е. не меняется по времени, то вектора скоростей частиц жидкости, проходящих через фиксированные точки пространства, меняться не будут. Иными словами, в разные моменты времени через фиксированные точки пространства протекать различные частицы жидкости, но вектора скоростей их в каждой фиксированной точке пространства будут одинаковыми. Картина поля скоростей при установившемся движении не меняется по времени.

Рисунок 2.1

Тогда, если задать следующие функции:

(2.2)

то говорят, что задано векторное поле скоростей. По заданному векторному полю скоростей можно определить все кинематические и геометрические характеристики потока жидкости. Если движение жидкости неустановившийся, то в каждый момент времени скорости частиц жидкости, проходящих через фиксированные точки пространства, будут различными. Поэтому, чтобы задать векторное поле скоростей при неустановившемся движении, необходимы другие уравнения:

(2.3)

Уравнение (2.2) и (2.3) является уравнение, с помощью которых задается движение жидкости при установившемся и неустановившемся движениях. Такой способ задания движения жидкости называется способом Эйлера. Поскольку при установившемся движении скорости частиц жидкости, проходящих через фиксированные точки пространства, не зависят от времени, аналитические условия устойчивого движения могут быть выражены:

(2.4)

формулу для определения ускорений частиц жидкости при задании движения способом Эйлера. Составим выражения полных производных по времени от проекций скоростей, учитывая, что полный дифференциал равно сумме частных дифференциалов
(2.5)



Разделим обе части уравнений (2.5) на и введем следующие ограничения:



где - углы между дифференциалом перемещение частицы жидкости и осями координат, то есть - проекции элементарного перемещения частицы на оси координат. Тогда:

 

(2.6)

 



Уравнение (2.6) можно кратко записать в векторной форме, если ввести дифференциальный оператор:
,
Тогда: (2.7)

 



© 2013