вход Вход Регистрация




Производной скалярной функции по направлению называется величина:

 

(3.7)

Градиентом скалярной функции называется вектор, проекции которого на оси координат равны частным производным от скалярной функции по соответствующим координатам:

(3.8)

Сравнивая выражения (3.7) и (3.8):

Поскольку модуль , то:

где: - угол между векторами и .
Таким образом, производная функции по направлению - является проекцией градиента этой функции на выбранное направление. Проекция градиента на заданное направление будет иметь max значения, если выбранное направление совпадает с градиентом, и будет равна нулю, если градиент перпендикулярен выбранному направлению. Физическая интерпретация производной по направлению - это скорость изменения некоторой функции по заданному направлению. Тогда наибольшая скорость изменения функции будет по направлению градиента. Найдем, как вектор в отношении функции. Функция .Нехай Функция - функция двух переменных, тогда:


Докажем, что вектор перпендикулярно линии уровня . Тангенс угла наклона касательной к линии уровня будет равен:

 

 

А тангенс угла наклона вектора: :

 




Тогда: , а это, что вектор перпендикулярен касательной к линии уровня и по внешней нормали. Вектор имеет такое направление, по которому скорость изменения функции наибольшая. Поскольку вектор по нормали, это, что направление, по которому функция имеет наибольшую скорость изменения - есть нормаль.


© 2018
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру