Рисунок 3.6

Выберем другую M, которая находится поблизости . Координаты т.M в системе координат с центром в т. будут равны: . Тогда, мгновенные составляющие скорости жидкости в т. в тот же момент времени будут равны:

(3.17)

Разложим функции (3.17) в степенный ряд Тейлора в окрестности т. , сохраняя только линейные члены ряда:

(3.18)

Рассмотрим проекции ротора скорости на оси координат:

Рассмотрим так же скорости угловых деформаций:
; ; ;

Составим проекцию ротора на ось x и скорость угловой деформации в плоскости, перпендикулярной оси x:

(3.19)

Аналогично составим и , а так же и

; (3.20)
Выполним вычитания тех же кинематических характеристик:

(3.21)

Тогда, формулы (3.18) с учетом зависимостей (3.19), (3.20), (3.21) примут вид:

Или:

(3.22)

Рассмотрим векторный добуток:

Тогда:

Формулы (3.22) примуть вид:

(3.23)

Введем в рассмотрение функцию:

Частные производные от этой функции по координатам:

Уравнения (3.23) примуть вид:

;

(3.24)

Уравнение (3.24) можно кратко записать в векторном виде:

(3.25)

В выражении (3.25) первое слагаемое отражает поступательное движение частицы, второе слагаемое - вращательное движение частицы, а третье слагаемое - деформационное движение частицы жидкости. Разложение вектора скорости частицы жидкости на три вида движения дает формула (3.25), которая и выражает основную теорему кинематики - теорему Гельмгольца.