вход Вход Регистрация



Рассмотрим движение жидкости в канале, образованном двумя параллельными стенками. Размер канала по направлению нормали к плоскости рисунка считать большим, чтобы можно было не учитывать влияние стенок, параллельных плоскости рисунка (рисунок 5.3)
При решении задачи будем считать, что движение жидкости не только перемещением бесконечно широкой верхней пластины, но и перепадом давления оси Х: .

 

 

 

 

 

 

Рисунок 5.3


Поскольку движение устойчивое, то:



При решении задачи массовыми силами пренебрегать. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости примут вид:


К этим трем уравнениям добавим уравнение неразрывности потока несжимаемой жидкости:

Тогда из уравнения неразрывности:

а так же .
При ламинарномсе вдоль оси Х считать, что линиями тока прямые, параллельные оси, тогда: , а так же равны нулю производные:

 

, ,

, ,


Поскольку движение оси отсутствует, значит
.

Окончательно, система дифференциальных уравнений движения примет вид:

 

(5.28)

 

Из второго уравнения системы (5.28) делаем вывод: , а это означает, что, давление является функцией только координаты Х. Скорость является функцией только координаты У, поэтому первое уравнение системы (5.28) можно переписать, переходя от частных производных к полным производных:

(5.29)
Введем обозначения: , тогда уравнение (5.29) примет вид:


Интегрируем последнее уравнение дважды по переменной У, получим:

 

(5.30)

Найдем постоянные интегрирования, используя граничные условия:

При

При

 

Подставим граничные условия в уравнение (5.30):

 

 

Окончательно, закон изменения скорости принимает вид:

 

 

Или:

(5.31)

Поскольку, где - перепад давления на длине l. Знак минус означает, что при увеличении координаты давление уменьшается. Формула для скорости примет вид:
(5.32)
Рассмотрим частный случай безнапорной течения жидкости, при котором . Это случай фрикционного движения, причиной которого перемещение одной из пластин, например верхней. Такое движение жидкости известен как течение Куэтта.
Тогда:
(5.33)

То есть, скорость в поперечном сечении имеет линейный закон изменения. Касательное, обусловленное вязкостью, может быть вычислено по формуле:

(5.34)

Касательное постоянно по толщине слоя. Эпюры изменения скоростей и касательных изображенные на рисунке 5.4

 


Рисунок 5.4

Вычислим удельный расход жидкости через поперечное сечение зазора, шириной :
(5.35)

Удельный расход, исчисленная по средней, скорости будет равна:

(5.36)

Сравнивая формулы (5.35) и (5.36), находим, что средняя скорость такого фрикционного движения жидкости равна:

Рассмотрим еще один частный случай - случай напорного течения жидкости в плоском канале при неподвижных пластинах, так называемого движения в щели. Из формулы (5.31), при значении, получим:

(5.37)

Как видно из выражения (5.37), закон изменения скорости по поперечному сечению в этом случае параболический. Найдем максимальную скорость. Приравнивая первую производную от скорости по координате нулю, найдем, при каком значении координаты скорость будет иметь максимальное значение:

 

Откуда: .

 

Тогда:

(5.38)


Задаваясь в формуле (5.38) значением , получим:

 

(5.39)


Касательные могут быть вычислены:

(5.40)

Как видно из формулы (5.40), касательные на стенках канала принимают максимальные значения, а в центре канала они равны нулю. . Знак касательных зависит от знака. При значениях скорость возрастает, так и, а при значениях скорость убывает, так и так же .



Эпюры распределения скоростей и касательных в поперечном сечении изображенные на рисунке 5.5
Найдем удельный расход жидкости при протекании в щели:

 



Рисунок 5.5
Учитывая , что, выражение для расхода примет вид

(5.41)

Определим среднюю скорость:

(5.42)
Тогда:

Потери давления при движении жидкости в щели:

(5.43)

Число Рейнольдса, как известно, равна
Тогда, формула потерь давления (5.43) примет вид:



Потери по длине щели могут быть выражены:

(5.44)

Сравниваем формулу (5.44) с формулой Дарси-Вейсбаха (5.14) для потерь по длине:


О, что коэффициент гидравлических потерь по длине при ламинарном установившемся движении жидкости в щели, равна:

Найдем компоненты вихря при ламинарном движении в щели:


Учитывая, что:
(5.45)
Как видно из формулы (5.45), при значениях, значение , то есть частицы жидкости совершают вращательное движение по часовой стрелке, а при значениях, значение, то есть частицы жидкости вращаются против часовой стрелки.


© 2018
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру