вход Вход Регистрация



Рассмотрим установившийся ламинарный поток жидкости в круглой цилиндрической трубе, перепадом давления. Для решения по определению распределения скоростей и касательных в поперечном сечении применим дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в цилиндрических координатах (см. формулу 5.12). Поскольку движение устойчивое, скорость не зависит от времени:. Далее, предполагая, что линии тока прямые, параллельные оси трубы, делаем вывод:

(5.46)

Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах имеет вид

Подставляя в уравнение неразрывности (5.46), , то есть, - скорость не зависит от координаты а зависит только от параметров и . Так же можно утверждать, что. Поток жидкости в трубе носит осесиметричний характер, поэтому будем считать, что все параметры потока не зависят от переменной , т.е.

Также не будем учитывать воздействие массовых сил:
.
С учетом выше изложенного, дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в цилиндрических координатах приму вид

 

(5.47)

 

С первых двух уравнений системы (5.47) следует, что давление в поперечном сечении постоянен и зависит только от координаты, это того, что мы пренебрегали влиянием массовых сил. Последнее уравнение системы (5.47) можно записать, заменяя в нем частные производные полными:

(5.48)

Рассмотрим и возьмем производную по переменной r:



В последнем выражении разделим обе части на радиус r:
(5.49)
Правая часть уравнения (5.48) может быть преобразована с помощью выражения (5.49):

(5.50)

Поскольку давление не зависит от параметра, проинтегрируем обе части уравнения (5.50), предварительно разделив переменные:

 

 

(5.51)

Разделим переменные в уравнении (5.51) и проинтегрируем его еще раз:

 

(5.52)

Определим постоянные интегрирования. Поскольку скорость должна иметь конечное значение, а при значении не существует логарифма от нуля, следовательно, физически реальный результат только при значении . Для определения постоянной интегрирования используем граничное условие на стенке трубы: , где - радиус трубы. Тогда, удовлетворяя уравнения (5.52) граничному условию, и учитывая, что :



Окончательно закон распределения скоростей по сечению трубы может быть выражен формулой:

(5.53)

При значении , то есть на оси трубы, скорость имеет максимальное значение:

(5.54)

Если учесть, что: , где: - падение давления на длине l, выражение для максимальной скорости примет вид:

(5.55)

Вычислим объемный расход жидкости при установившемся ламинарном движении в трубах.

 



Рисунок 5.6

Удельный элементарная расход жидкости, протекающей через элементарный площадку, будет равна:



Полная расход:





(5.56)

Или, учитывая Формулу (5.55):

(5.57)

Поскольку расходы средней скоростью связана формулой:

(5.58)

Сравнивая формулы (5.57) и (5.58),, что средняя скорость равна:



Тогда, падение давления на длине l:

Потери на трение по длине трубопровода:

(5.59)
где: - кинематическая вязкость.
Сравнивая формулу (5.59) с формулой Дарси-Вейсбаха (5.14),, что коэффициент гидравлического сопротивления при ламинарном движении жидкости в цилиндрической трубе, будет равна:

Ламинарный поток вязкой жидкости в трубе есть вихревое движение. Найдем компоненты вихря. При:
Вычислим частные производные:

 

где: .

Тогда:

 


Компоненты вихря будут равны:

 

(5.60)

 


Дифференциальное уравнение вихревых линий:
(5.61)
Подставим в уравнение (5.61) для компонент вихря (5.60):
Разделим переменные в последнем уравнении и проинтегрируем обе части уравнения:

После интегрирования получим:

 

Или: - уравнение круга.

© 2018
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру