вход Вход Регистрация



Рассмотрим движение жидкости в кольцевом зазоре между соосевыми расположенными цилиндрами, вращающимися с разными скоростями.
При описании движения предполагаем, что линиями тока концентрические круги, тогда: . Движение жидкости является плоским, поэтому . По-прежнему будем рассматривать устойчивое движение, то есть, массовыми силами так же будем пренебрегать.


Рисунок 5.9


. При таких данных дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в цилиндрических координатах примут вид:

 

 

 

(5.73)

 


К этим трем уравнениям добавим уравнение неразрывности движения потока несжимаемой жидкости:



Уравнение неразрывности потока при заданных начальных данных: и примет вид: . Если составляющая скорости не зависит от координатного угла. Давление также не зависит от координатного угла, через осевую симметрию потока. Кроме того, равны нулю все производные по координате, поскольку отсутствует движение оси. Все переменные в системе уравнений (5.73)
зависят только от одного параметра, поэтому все частные производные могут быть заменены полными производными. Тогда, система уравнений (5.73) примет вид

 

(5.74)

 







(5.74)



Второе уравнение системы (5.74) содержит одну неизвестную функцию, и поэтому его можно решать независимо от остальных уравнений системы. Перепишем его в следующем виде:



Последнее уравнение называется уравнением Эйлера. этого уравнения основано на таком преобразовании, чтобы избавиться переменных коэффициентов. Обозначим переменный коэффициент: , тогда:
(7.75)
Вычислим следующие производные в выражении (5.75):



Подставляя найденные производные в уравнения Эйлера, дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

Или:

(5.76)

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (5.76) имеет вид:



Корни характеристического уравнения равны:



Тогда, общее решение дифференциального уравнения (5.76) примет вид:

 

 

Или, учитывая, что , отримаємо:

 

(5.77)

Определим постоянные интегрирования, удовлетворяя уравнения (5.77) следующим граничным условиям:

,при

(5.78)

при

После подстановки условий (5.78) в уравнение (5.77),:

(5.79)

Решая систему уравнений (5.79),:

 

(5.80)

Подставляем найденные постоянные интегрирования (5.80) в решение (5.77), закон распределения скоростей по сечению кольца:

 

(5.81)

 

Практический интерес представляют касательные и создаваемые ими сила и момент трения. Как известно, касательные пропорциональны скорости угловой деформации. Выделим цилиндровыми поверхностями, радиусов и тонкий слой жидкости , который испытывает деформацию, неодинаковой скорости вращения цилиндров (рисунок). Для определенности будем считать, что.



Рисунок 5.10
Скорость в, находящийся на расстоянии от оси цилиндров, равный . Тогда, скорость в, находящейся расстоянии от оси цилиндров, будет равна . Расстояние, которое прошла А за время , равное длине дуги и может быть найдена: . Расстояние, которое прошла В за то же время, равный длине дуги . Если бы оба цилиндры вращались с одинаковой скоростью, то В переместилась бы в положение , а расстояние, которое прошла В за время , равнялась бы длине дуги. Угловая скорость для всех слоев жидкости была бы одинакова и равнялась бы: . Тогда, длина дуги . Итак, наружных слоев жидкости, находящихся на расстоянии от оси вращения, вызванное тем, что угловые скорости вращения цилиндров неодинаковы, будет равняться длине дуги :

Угловая деформация:

Скорость:

Скорость угловой деформации:

(5.82)

Касательные, согласно гипотезе Ньютона, пропорциональные скоростям угловых деформаций:

 

(5.83)


Используя уравнения (5.77), найдем:

(5.84)

Подставим выражения (5.84) в уравнение (5.83),:
(5.85)

Касательные на внутреннем цилиндре, при значении :



Аналогично, касательные на внешнем цилиндре:



Вычислим момент силы трения оси цилиндров. Поскольку касательные не зависит от координатного угла, момент можно найти по формуле:
(5.86)

Рассмотрим частный случай, когда внешний цилиндр неподвижен, а зазор между цилиндрами мал. Тогда, принимаем примерно:



Величиной , как высшего порядка, можно пренебречь. Формула (5.86) примет вид:

(5.87)

Формула (5.87) называется формулой Петрова. Как видно величина момента при уменьшении зазора.

Случайные новости

2.5 Однонаправленное движение потоков в двухфазных системах

Отличительной особенностью однонаправленных движений в двухфазных системах есть то, что они в большинстве случаев двигаются не как одно целое, а одна фаза движется относительно другой; причем фаза, которая имеет большой удельный вес, движется медленее, тормозя движения легкой фазы. Существует несколько видов движения таких систем в зависимости от массовой скорости каждой фазы, а также от горизонтального или вертикального направления их движения. Однако для горизонтально и вертикально направленных потоков могут быть одинаковые виды движения.

На рис. 2.1 представленные виды движения для горизонтально и вертикально направленных воздушно-жидкостных потоков. Установленные следующие режимы движения потоков.

1. Пузырьковый режим I. В этом режиме воздуха движется в жидкости в виде отдельных пузырьков со скоростью, которая превышает скорость жидкости. Такой режим может возникнуть, например, когда при постоянной скорости жидкости у нее вводится относительно небольшое количество воздуха, который разбивается на маленькие пузырьки.

 

Рис. 2.1 - Виды движения однонаправленных двухфазных систем

 

2. Пробковый режим II. В этом режиме пузырьки объединяются у своего рода воздушные пробки, которые напоминают по своей форме снаряды с головкой параболического контура. Таким образом, по трубе двигаются те, что чередуются один за одним воздушные и жидкостные пробки, причем последние содержат включение из воздушных пузырьков.

3. Кольцевой режим III. Воздух движется по центру, а жидкость, которая пронизывается воздушными пузырьками, - по стенкам.

4. Режим емульгирование, или емульсионный режим IV. Достигши значительных массовых скоростей воздуха воздуха становится сплошной фазой, а жидкость дисперсируется в нем. При этом система движется в виде мелких пузырьков воздуха, представляя воздушно-жидкостную эмульсию.

Приведенная классификация режимов дает наиболее типичные формы хода воздушно - жидкостных смесей, однако могут встречаться и переходные виды движения: стержневое, полукольцевое, пленочно-емульсивное, капельное и др [61].

I - пузырьковый режим; II - пробковый режим;

III - кольцевой режим; IV - емульсионный режим.

 

Рис.2.2 - Изменение (DP/l) в-же и удерживающей способности в разных режимах при однонаправленном вертикальном движении двухфазной системы:

 

где Vг-Объемная нагрузка по воздуху; q - объемная частица воздуху для разных режимов при однонаправленному вертикальному движении при постоянной скорости жидкости (~0,62 м/с). Как вытекает из рис. 2.2, только в режиме эмульгирования (режим IV) наблюдается одинаковый или во всяком случае близкий характер изменения разных количественных характеристик двухфазного потока, который находится согласно прежде рассмотренных особенностей движения двухфазных систем [62].

На рис. 2.2 представленные изменения перепада давки в двухфазной системе (DP/l) в-же и удерживающей способности jR через соотношение

 

. (2.46)

 

Как безразмерный комплекс, который определяет переход с одного режима хода системы в другой, для вертикальных труб может быть взято, например, так называемое число Фруда для смеси:

 

(2.47)

 

(2.48)

 

где uже, uВ - объемные скорости жидкости и воздух, м 3/с;

dт - внутренний диаметр трубы, г.

Функцией числа Фруда будет так называемое объемное воздушное содержимое:

 

(2.49)

 

Было установлено, что для границы между пузырьковым и пробковым режимами ( между I и II) справедливая зависимость

 

(2.50)

 

Для границы между II и III режимами

 

(2.51)

 

Для границы между Ш и IV режимами

 

(2.52)

 

 

Рис.2.3 - Зависимость ( от Ф.

 

yuu - обе фазы двигаются ламинарно; ytu - воздух движется турбулентность, жидкость ламинарно или наоборот; yut,ytt - воздух и жидкость двигаются турбулентность.

На рис. 2.3 представленное изменение отношения перепада давки в двухфазном потоке (DP/l) в-же к перепаду давки в однофазном потоке соответственно для воздушной фазы

 

(2.53)

 

или редкой фазы

. (2.54)

 

при условии, если воздух или жидкость двигалась при тех же скоростях, температуре и давке, которая в двухфазном потоке.

Перепад давки в двухфазном однонаправленном потоке можно определить через видоизмененный фактор Ф, который может быть выраженный таким образом:

 

(2.55)

или

, (2.56)

 

где показатели m, n и с зависят от того, в каком режиме двигаются фазы. Заранее рассчитываются числа Рейнольдса для каждой фазы и по уравнению сопротивления для однофазного потока определяются раздельно DРв и DРж. Определивши таким образом параметр ФIV по (2.55), с помощью черт. 2.3 определяют ( для каждой фазы, откуда исчисляется перепад давки в двухфазном потоке:

 

(2.57)

 

. (2.58)

 

Для определения перепада давки при однонаправленном движении воздушно-водных смесей в шершавых горизонтальных трубах можно воспользоваться уравнением

 

(2.59)

 

где D Pв-Же - перепад давки в двухфазном потоке;

DPж - перепад давки при движении только жидкости;

с, m - постоянные, определяемые опытным путем.

Перепад давки в двухфазном потоке на входе в канал (вертикальную трубу) можно рассчитать по уравнению

 

(2.60)

 

Столб жидкости захватывается воздушным потоком и ускоряется в зоне расширения воздушной струи до одного или двух диаметров [13].

© 2019
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру