вход Вход Регистрация



Рассмотрим движение жидкости в кольцевом зазоре между соосевыми расположенными цилиндрами, вращающимися с разными скоростями.
При описании движения предполагаем, что линиями тока концентрические круги, тогда: . Движение жидкости является плоским, поэтому . По-прежнему будем рассматривать устойчивое движение, то есть, массовыми силами так же будем пренебрегать.


Рисунок 5.9


. При таких данных дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в цилиндрических координатах примут вид:

 

 

 

(5.73)

 


К этим трем уравнениям добавим уравнение неразрывности движения потока несжимаемой жидкости:



Уравнение неразрывности потока при заданных начальных данных: и примет вид: . Если составляющая скорости не зависит от координатного угла. Давление также не зависит от координатного угла, через осевую симметрию потока. Кроме того, равны нулю все производные по координате, поскольку отсутствует движение оси. Все переменные в системе уравнений (5.73)
зависят только от одного параметра, поэтому все частные производные могут быть заменены полными производными. Тогда, система уравнений (5.73) примет вид

 

(5.74)

 







(5.74)



Второе уравнение системы (5.74) содержит одну неизвестную функцию, и поэтому его можно решать независимо от остальных уравнений системы. Перепишем его в следующем виде:



Последнее уравнение называется уравнением Эйлера. этого уравнения основано на таком преобразовании, чтобы избавиться переменных коэффициентов. Обозначим переменный коэффициент: , тогда:
(7.75)
Вычислим следующие производные в выражении (5.75):



Подставляя найденные производные в уравнения Эйлера, дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

Или:

(5.76)

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (5.76) имеет вид:



Корни характеристического уравнения равны:



Тогда, общее решение дифференциального уравнения (5.76) примет вид:

 

 

Или, учитывая, что , отримаємо:

 

(5.77)

Определим постоянные интегрирования, удовлетворяя уравнения (5.77) следующим граничным условиям:

,при

(5.78)

при

После подстановки условий (5.78) в уравнение (5.77),:

(5.79)

Решая систему уравнений (5.79),:

 

(5.80)

Подставляем найденные постоянные интегрирования (5.80) в решение (5.77), закон распределения скоростей по сечению кольца:

 

(5.81)

 

Практический интерес представляют касательные и создаваемые ими сила и момент трения. Как известно, касательные пропорциональны скорости угловой деформации. Выделим цилиндровыми поверхностями, радиусов и тонкий слой жидкости , который испытывает деформацию, неодинаковой скорости вращения цилиндров (рисунок). Для определенности будем считать, что.



Рисунок 5.10
Скорость в, находящийся на расстоянии от оси цилиндров, равный . Тогда, скорость в, находящейся расстоянии от оси цилиндров, будет равна . Расстояние, которое прошла А за время , равное длине дуги и может быть найдена: . Расстояние, которое прошла В за то же время, равный длине дуги . Если бы оба цилиндры вращались с одинаковой скоростью, то В переместилась бы в положение , а расстояние, которое прошла В за время , равнялась бы длине дуги. Угловая скорость для всех слоев жидкости была бы одинакова и равнялась бы: . Тогда, длина дуги . Итак, наружных слоев жидкости, находящихся на расстоянии от оси вращения, вызванное тем, что угловые скорости вращения цилиндров неодинаковы, будет равняться длине дуги :

Угловая деформация:

Скорость:

Скорость угловой деформации:

(5.82)

Касательные, согласно гипотезе Ньютона, пропорциональные скоростям угловых деформаций:

 

(5.83)


Используя уравнения (5.77), найдем:

(5.84)

Подставим выражения (5.84) в уравнение (5.83),:
(5.85)

Касательные на внутреннем цилиндре, при значении :



Аналогично, касательные на внешнем цилиндре:



Вычислим момент силы трения оси цилиндров. Поскольку касательные не зависит от координатного угла, момент можно найти по формуле:
(5.86)

Рассмотрим частный случай, когда внешний цилиндр неподвижен, а зазор между цилиндрами мал. Тогда, принимаем примерно:



Величиной , как высшего порядка, можно пренебречь. Формула (5.86) примет вид:

(5.87)

Формула (5.87) называется формулой Петрова. Как видно величина момента при уменьшении зазора.

© 2018
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру