вход Вход Регистрация



Ферма, яку зображено на мал. №1, навантажена активними силами числові значення сил, а також напрямки ліній їхніх дій вибираються із табл. № 1

 

Таблиця № 5.1.1

F1 ,

 

F2 ,

KH

 

F3 ,

KH

 

F4 ,

KH

 

F5 ,

KH

 

F6 ,

kH

 

F7 ,

kH

 

a

 

11 30 19 45 20 60 7 90 13 90 10 150 9 90 0,9

 

 

 

Для даної ферми необхідно:

 

1) привести систему активних сил до центра О, при цьому головний вектор системи визначити графічно й аналітично;

2) побудувати лінію дії рівнодіючої і записати рівняння цієї лінії;

3) визначити координати точки притинання рівнодіючої до нижнього пояса;

4) перевірити справедливість теореми Вариньона щодо точки С;

5) визначити опорні реакції;

6) перевірити правильність обчислення опорних реакцій.

 

 

Рішення.

 

1. Визначаємо головний вектор системи активних сил, який дорівнює геометричній сумі системи сил і прикладений у центрі О.

Визначаємо головний момент, який дорівнює алгебраїчній сумі моментів активних сил щодо центра О.

Для графічного визначення головного вектора зобразимо задану ферму в зручному масштабі, із силами прикладеними під заданими кутами.

Довжини векторів цих сил теж представимо в масштабі (у правому верхньому куті креслення ( мал. 5.2 (а) ).

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Малюнок 5.1 - Загальний вид ферми.

 

 

Визначимо головний вектор графічним способом, для чого у центрі О вибираємо початок системи координат і будуємо силовий багатокутник, відкладаючи при цьому послідовно вектори сил під заданими кутами. Причому, якщо силовий багатокутник захаращує зображення ферми, його можна винести, змістивши умовне положення точки О (мал. 5.2 (б)).

Змінюючи довжину знайденого сумарного вектора приблизно визначаємо величину і проекції вектора активних сил, використовуючи масштаб:

 

; ;

 

 

Щоб визначити головний вектор системи активних сил аналітично, знаходимо, спочатку, проекції всіх сил на осі координат. Потім, складаючи відповідні проекції сил, одержуємо проекції головного вектора

 

 

Модуль головного вектора і його направляючі косинуси визначаємо по формулах:

Для аналітичного обчислення головного вектора доцільно скласти таблицю, що містить як аналітичні вираження для проекцій, так і їхні числові значення (див. табл. № 5.1.2).

Після обчислення головного вектора аналітичним способом, оцінюємо погрішність його визначення графічно по формулі:

 

 

 

У даному випадку

 

kH; kH;

 

 

 

       
 
 
   

 

 

 Малюнок 5.1.2 - Графічне визначення головного вектору

 

Збіг аналітичного і графічного рішень підтверджує правильність визначення головного вектора системи активних сил ( ).

 

Таблиця № 5.1.2

 

0 0
  9,5263 13,435 10 0 0 -5 -9
0
-5,5 -13,435 -17,32 -7 -13 8,6603 0
18,961 kH
-47,595 kH
51,233 kH
0 0
-8,5737 -12,0915 -9 0 0 9 12,15
0 0 0 0
0 -12,0915 -31,176 -18,9 0 7,7942 0
-62,888 k м
0 0 0
4,2868 6,0457 4,5 0 0 2,25 0
0 0
9,9 12,091 0 -6,3 23,4 -7,7942 0
48,38 k м
                 

 

 Для обчислення головного моменту активних сил відносно центра О доцільно розкласти всі сили на складові, паралельні осям координат ( мал. 5.2 (а)). Необхідні дані для цих обчислень будемо вибирати із табл. № 1, з огляду на те, що складові сили дорівнюють модулям відповідних проекцій.

Головний момент знаходимо як алгебраїчну суму моментів вертикальних і горизонтальних складових активних сил відносно центра О:

 

Для визначення головного моменту відносно центра О заповнимо табл. № 2.

З таблиці випливає, що

 

2. Тому що головний вектор не дорівнює нулю, дану систему сил можна замінити рівнодіючою . Для цього пару сил з моментом зобразимо двома силами такими, що та .

Плече пари

Відкинувши урівноважені сили , замінимо систему сил рівнодіючою . Лінія дії відстоїть від лінії дії головного вектора на відстані d. При цьому знак моменту повинний збігатися зі знаком

Вважаючи масштаб, зобразимо на кресленні лінію дії рівнодіючої (мал. № 5.3).

Запишемо рівняння лінії дії рівнодіючої в системі координат , використовуючи теорему Вариньона:

 

3. Прикладемо рівнодіючу до нижнього поясу ферми, здійснючи перенесення її уздовж лінії дії в точку К.

Координати цієї точки одержимо, задавши рівняння нижнього пояса ферми y = 0,9 м, і вирішивши потім систему рівнянь:

 

 

відкіля

м; м.

 

Будемо вважати, що рівнодіюча активних сил прикладена до точки К (див. мал. № 5.3).

4. Для перевірки правильності визначення рівнодіючої упевнимося, що вона підкоряється теоремі Вариньона, тобто задовольняє умові:

Для обчислення головного моменту активних сил відносно центра «С» доцільно розкласти всі сили на складові, паралельні осям координат ( мал. 5.1.2 (а)). Необхідні дані для цих обчислень будемо вибирати із табл. № 5.1.1, з огляду на те, що складові сили дорівнюють модулям відповідних проекцій.

Головний момент знаходимо як алгебраїчну суму моментів вертикальних і горизонтальних складових активних сил відносно центра «С»:

Для обчислення суми моментів активних сил щодо центра С заповнюємо табл. № 5.1.2. Із таблиці випливає, що:

 

 

 

 

 Малюнок 5.1.3 - Визначення рівнодіючої активних сил

 

 Для визначення моменту рівнодіючої відносно центра С розкладемо її спочатку на складові (мал. № 5.4):

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Малюнок 5.1.4 - Визначення реакцій опор.

 

 

Після розкладу рівнодіючої на складові одержимо слідуюче:

 

 

 

Потім знайдемо момент рівнодіючої відносно центра С по формулі:

 

 

Порівняння знайдених величин вказує на те, що рівнодіюча задовольняє умовам теореми Вариньона в умовах прийнятої норми точності обчислень.

5. Розглянемо рівновагу ферми, на котру діє рівнодіюча активних сил (мал. № 5.4).

Ферма спирається на шарнірно-нерухому опору в точці А и на шарнірно-рухливу в точці В. Відповідно до аксіоми зв'язків, дія опор заміняється реакціями .

Складемо рівняння рівноваги ферми:

 

 

відкіля одержимо:

 

.

Значення і виявилися позитивними. Це позначає, що прийняті на мал. № 3. напрямки реакцій збігаються з дійсними. Дійсний напрямок реакції протилежний зазначеному на кресленні. Повна реакція в крапці А по модулю обчислимо по формулі:

 

Для перевірки вірності обчислень знайдених реакцій складемо рівняння рівноваги, що не використовувалося в рішенні. Наприклад:

 

 

Таким чином, знайдені реакції опор задовольняють рівнянню рівноваги, отже, вони визначені правильно.

Оцінити правильність знайдених реакцій можна так само графічно, використовуючи теорему про три сили. Тому що ферма знаходиться в рівновазі під дією трьох сил лінії дії цих сил повинні перетинатися в одній точці . Цю точку знаходимо на перетинанні ліній дії сил (див. мал. № 5.4). Лінія дії реакції проходить через точки А та .

Знаючи величину і напрямок сили , а також напрямок ліній дії сил , легко побудувати силовий трикутник LMN , з якого, використовуючи масштаб, знаходимо невідомі реакції :

Ці значення з визначеною точністю збігаються з раніше знайденими значеннями реакцій.

© 2018
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру