вход Вход Регистрация



Явление возникновения случайных погрешностей вследствие действий многочисленных факторов носит непредусмотренный , непрогнозированный характер и потому на данное время развития науки корректное определение и вычисление результатов измерения могут быть проведены только с помощью положений теорий достоверности и математической статистики. Как известно , классическая теория вероятностей оперирует с беспрерывными величинами , исходя из того, что число случайных величин приближается к бесконечности. В то же время при проведении реальных измерений число отдельных наблюдений есть оконченным и может быть довольно небольшим числом ( от 2 до100). Вследствие этого необходимо внимательно и корректно оценивать результаты применения выше обозначенных дисциплин. С появлением мощных математических пакетов для инженерных расчетов таких как , например ,Маthcad , Matlab , которые имеют в своем составе почти весь перечень статистических функций , применение печатных таблиц ,которые содержат табулированные значение разных статистических функций может иметь место только с учебной целью.

Приведем некоторые математические выражения и их определение а также понятие математической статистики , употребляемых в метрологических исследованиях . При этом объяснительные графики строятся с применением статистических функций пакету Mathcad.

Генеральная совокупность

Под генеральной совокупностью понимается совокупность всех возможных значений измеренной или исследуемой случайной величины X , то есть самая эта величина.

Выборочная совокупность или выборка –совокупность тех значений случайной величины , которая есть в нашем распоряжении , например результаты при n наблюдениях измеренной величины.

Интегральная функция распределения

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость достоверности того, что результат, наблюдение Xi в i-м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения X , от самой величины х:

Fx (x) = P{Xi ≤ x} = P{-∞ < Xi. ≤ x} (5)

Литера Р означает достоверность события, описание которой расположенный в фигурных дужках.

Если рассматривать результат отдельного наблюдения Xi как случайную точку на оси Ох (рис. 1), то значение интегральной функции распределения в точке х' численно равняется достоверности того, что случайная точка Хi в результате i-гo измерение займет некоторое положение левее, чем точка х'.

 


0 Xi x' x

 

Рис.3

Эти вероятности, очевидно, разные для разных точек х'. При перемещении точки х' вправо вдоль числовой оси, достоверность того, что в результате измерения точка Xi расположится левее х', не может уменьшаться. Итак, интегральная функция распределения результатов наблюдений является функцией аргумента ,который не уменьшается При дальнейшем увеличении координаты х' событие Xi ≤ х' становится все более и более достоверным, а его достоверность асимптотично приближается к единице. При перемещении точки х' влево вдоль числовой оси Ох достоверность события Xi ≤ х' может только уменьшаться или оставаться постоянной в некоторых интервалах значений х'. В границе при х' —> −∞ это событие становится невозможной, и его достоверность хочет к нулю.

За обычай график интегральной функции распределения результатов наблюдений является беспрерывной кривой, которая не уменьшаются , начинается от нуля на негативной бесконечности и асимптотаа которой приближается к единице при увеличении аргумента к плюс бесконечность (рис. 4).

 

 

 

 


 

1,0

 

 

 

 

 

 

00,5

 

 

 

 

 

X

 

 


 

0,0
Q

 

 

 

Рис.4

Часто при х = Q интегральная функция распределения имеет точку перегиба. Тогда, если в точке перегиба интегральная функция распределения принимает значение, которое равняется половине, говорят о симметричности распределения результатов наблюдений относительно действительного значения измеренной величины.

Непрерывность интегральной функции распределения результатов наблюдений воссоздает собой тот казалось бы очевидный факт, что результат наблюдения может принять любое к опыту выбранное значение только с нулевой достоверностью.

Случайную погрешность δ также нужно считать случайной величиной, которая принимает в разных наблюдениях разные значения δi Интегральная функция распределения погрешности имеет аналогичный вид при смещении начала координат в точку x = Q.

Fδ(δ) = Р{δi ≤ δ} = P{Xi − Q ≤ x − Q} = Р {Х,< х}. (6)

Дифференциальная функция распределения

Учитывая вероятный характер распределения случайных погрешностей для лучшего представления характера их расположение возле истинного значения измеренной величины Q в теории достоверности применяют понятие плотности распределения вероятностей , которую именуют дифференциальной функцией распределения и обозначают через px(x) для измеренной величиниX или pδ (δ) для погрешности δ.

Дифференциальная функция распределения является функцией, производной от интегральной за своим аргументом:

px(x) pδ(δ) (7)

График дифференциальной функции распределения, которое называется кривой распределения, имеет колоколоподобную форму с максимумом при X = Q и соответственно при δ =0.

Эти кривые приведенные на рис. 5,6

 


 

Рис.5 Рис.6

На приведенном рисунке 5 р(х) максимум характеристики проходит через значение измеренной величины Xi , которое равняется истинному значению Q.

На рисунке 6 р(δ) максимум характеристики проходит через значение погрешности δ=0.

От дифференциальной функции распределения можно перейти к интегральной путем интегрирования первой:

Fx (х) = px (х) dx; Fδ (δ) = (δ) dδ. (8)

Анализируя определение интегральной функции распределения а также учитывая

,что Fx(+∞) = 1 ,можно считать верным :

px(x) dx = p δ(δ) dδ =1. (9)

Другими словами можно сказать ,что предельное значение интегральной функции равняется площади , которая содержится между кривой плотности достоверности интегральной функции распределения и осью абсцисс при неконченых границах интегрирования.

Интервалы значений измеренных величин (x1 ; x2) или погрешностей (δ1 ; δ2 );

Если имеем ограничение значений измеренной величины (x1 ; x2) или погрешности (δ1 ; δ2 ) , то учитывая определение интегральной функции распределения можем определить:

Р{ х1<Х ≤ х2 } = Р{ -∞ < X ≤ x2 }-P{-∞ < X ≤ x1}=

=Fx(x2)- Fx(x1), (10)

P{ δ1 < δ ≤ δ2} = P{- ∞< δ ≤ δ2} − P{ − ∞ < δ ≤ δ2 } =

=F δ2) −F δ1), (11)

Приведенные формулы означают , что достоверность нахождения результата наблюдений или случайной погрешности в заданном интервале равняется различию значений интегральной функции распределения на границах этого интервала.

Учитывая формулу (8) и переходя к плотности распределения вероятностей (дифференциальной функции распределения p(x) и p(δ) , получим:

 

Р {х1 < Х ≤ х2} = px (х) dx − px (x) dx = px (х) dx, (12)

P{ δ1< δ ≤ δ2}= pδ (δ)dδ − pδ (δ)dδ = pδ (δ)dδ (13)

Таким образом, достоверность попадания результата наблюдения или случайной погрешности в заданный полуоткрытый интервал равняется площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к нее на границах этого интервала.(рис. )

Рис.5 Рис.6

 

Виделенные выражения px (х) dx, pδ (δ )dδ именуют элементами достоверности. Они равняются вероятностям того , что случайные величины δ и Х смогут принять некоторое значение в интервалах и dx и потому по форме кривой распределения можно сказать о том , каких интервалах значений случайных погрешностей более или менее вероятные.

Математическое ожидание результатов наблюдений:

Анализ приведенных кривых дает возможность сделать вывод , что результаты наблюдений сконцентрированные вокруг истинного значения измеренной величины и при приближение к нему элементы вероятности их возникновения возрастают . Таким образом математическое ожидание можно трактовать как наиболее достоверное значение измеренной величины. Математическое выражение для определения математического ожидания имеет вид:

(14)

Физически математическое ожидание можно трактовать как центр тяготения геометрической фигуры, образованной кривой распределения и осью абсцисс.

Исходя из уравнения для математического ожидания, можно сделать более основательные определения систематической и случайной погрешностей.

Систематической погрешностью называется различие между математическим ожиданием результатов наблюдений и истинным значением измеренной величины:

(15)

Случайная погрешность — различие между результатом единичного наблюдения и математического ожидания результатов:

(16)

Исходя из приведенных определений можно вывести истинное значение измеренной величины:

(17)

.Моменты случайных погрешностей ;

В большинстве случаев для уменьшения трудоемкости анализа погрешностей измерения пользуются ограниченным числом специальных величин, которые называются моментами .

Начальным моментом к-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида:

(18)

что является математическим ожиданием степени Xk. Из выражения (18) вытекает , что начальный момент первого порядка совпадает с математическим ожиданием результатов наблюдений:

 

a1[X] =mx = M[X} (19)

Центральным моментом к-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида:

(20)

который является математическим ожиданием величины (X - тх), то есть случайной погрешности к-и

степени.

Первый центральный момент равняется нулю.

Дисперсия распределения случайных величин.

Второй центральный момент имеет вид:

μ2[X] = (x-mx)2 px(x)dx = δ2 pδ(δ) dδ ( 21)

Второй центральный момент именуется дисперсией распределения случайных погрешностей и равняется дисперсии распределения результатов наблюдений .

Физически дисперсия определяет их рассеяние относительно математического ожидания.

Дисперсия результатов наблюдений и погрешностей обозначается как:

D[X] = D[δ] = M[(X - mx )2 = M[δ2] = (x-mx)2 px(x)dx = δ2 pδ(δ) dδ (22)

Дисперсия распределения имеет размерность квадрата измеренной величины, поэтому она неудобная для пользования. Значительно чаще в расчетах используется положительное значение квадратного корня из дисперсии, которое называется средним квадратичным отклонением результатов наблюдений:

(23)

Для характеристики рассеяния результатов наблюдений чаще всего используется математическое ожидание и дисперсия, поскольку они определяют самые важные признаки распределения: положение центра распределения и степень рассеяния результатов измерений относительно истинного значения измеренной величины.

С помощью среднего квадратичного отклонения можно оценить достоверность того, что при одноразовом наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превысит некоторой , заведомо заданной величины ε, то есть достоверность:

Р {| δ| < ε }.

Для этого запишем выражение для дисперсии распределения случайной погрешности:

σ2x =D[X] = δ2p δ(δ)dδ . (24)

Если сузить границы интегрирования , то правая часть равенства срастить не может. Поэтому имеет место следующая неровность:

σ2xδ2pδ(δ)dδ + δ2pδ(δ)dδ. (25)

Выполнивши ряд превращений в конечном результате получим :

P{| δ| > ε} < (26)

Это выражение известное как неровность Чебишева .Используя его , найдем достоверность того, что результат одноразового наблюдения отличается от действительного значения на величину, большую тройного среднего квадратичного отклонения, то есть достоверность того, что случайная погрешность окажется большей 3σx

Р{|δ|> Зσx } < = ~ 11%.

Достоверность того, что погрешность измерения не превысит 3σx имеет вид

Р{|δ| < Зσx } ≥ 1 - ~ 89 %. (27)

Неровность Чебишева дает только нижнюю границу для достоверности Р{| δ|< ε}, меньше которой она не может быть ни при которому распределении. За обычай Р{|δ| < Зσx } значительно больше 89%. В большинстве практических случаев вкрай редко встречаются погрешности большие чем ± 3σx , поэтому интервал

(—3σx + 3σx) полагает интервалом практически возможных значений случайной погрешности.

 

Нормальный закон распределения (закон распределения Гаусса).

В практике измерений применяются разные законы распределения случайных погрешностей: треугольный, трапециевидный, прямоугольный, симметричный, нормальный. Однако самое большое значение имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса). Главная особенность нормального закона распределения заключается в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при типичных для измерения условиях, при n—>∞ . Теорией вероятностей приходится, что плотность вероятностей суммы независимых малых составляющих при неограниченном увеличении их числа приближается к нормальному закону распределения независимо от того, какие законы распределения имели эти составные. Если учесть, что случайная погрешность является результатом действия большого количества случайных факторов, роль каждого с которых при точных измерениях небольшая, то становится понятным значение нормального закона в теории измерений.

Чаще всего при изучении случайных погрешностей используется нормальный закон распределения, дифференциальная функция которого описывается уравнением:

(29)

 

 

 

 

 

Рис.7

На рис. 7 приведенный график нормального распределения случайных погрешностей Р(δ). Кривая распределения симметричная относительно оси О Р(δ). Максимальная величина вероятностей равняется

и достигается в точке О. При отдалении от точки 0 ( влево или вправо) достоверность Р(δ) уменьшается и асимптотично приближается к нулю, а вероятность больших случайных погрешностей возрастает.

Для дифференциальной функции распределения результатов наблюдений это уравнение приобретает более общий вид:

, (30)

где mx – математическое ожидание ;

σx- среднее квадратичное отклонение результатов наблюдений.

В пакете Mathcad дифференциальная функции нормального распределения

обозначается как dnorm(x,μ,σ) , где x-аргумент , μ – математическое ожидание , σ – среднее квадратичное отклонение. В качестве примера, приведем построение графику дифференциальной функции нормального распределения при следующих параметрах:

диапазон значений x = 0…50

математическое ожидание μ = 25

среднее квадратичное отклонение σ = 1

 

рис.8

Значительное распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, которая есть одной из выдающихся математических теорем, разработанных выдающимися математиками: А. де Муавром, П. де Лапласом, К.Ф. Гауссом, П.Л. Чебишевим, А. Г. Ляпуновим и др.

.Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близким к нормальному каждому разу, когда результаты наблюдений будут формироваться под влиянием большого количества независимых факторов, каждый с которых взыскивает лишь незначительное влияние сравнительно с суммарным влиянием других.

Рис.9

На рис.9приведенные кривые дифференциальной функции нормального распределения для разных значений среднего квадратичного отклонения σ1 < σ2 < σ3

При уменьшении среднего квадратичного отклонения σ1 < σ2 < σ3 границе распределения результатов суживаются (рис.9), а вершина дифференциальной функции поднимается вверх. Вероятность возникновения малых погрешностей увеличивается, а больших — уменьшается, то есть уменьшается рассеяния результатов измерения относительно действительной величины и возрастает точность измерения. Чем точнее выполнено измерения, тем выше будет подниматься кривая распределения случайных погрешностей и будет уменьшаться значения среднего квадратичного отклонения.

Как отмечалось выше , дифференциальные функции распределения только указывают на характер распределения погрешностей , в то время как практический интерес лежит в плоскости вычисления достоверности результатов полученных измерений в заданном интервале значений измеренной величины. Эта операция может быть выполнена при интегрировании дифференциальной функции распределения вследствие чего мы получим интегральную функцию распределения достоверности .

Вычисление достоверности попадания результата наблюдений в некоторой заданный интервал

(x1 ; x2) имеет вид :

P { x1 2 } = px(x) dx = (31)

Непосредственное применение этой формулы при использовании конкретных единиц измеренных величин встречает довольно большие трудности. С целью их преодоления переходят на относительное (нормированное) представление сменных .Для этого заменяют сменные:

; ; , (32)

Анализ этих выражений показывает ,что сменная t не зависит от конкретных единиц измерения и таким образом полученные в дальнейшем математические выражения являются нормированными и универсальными относительно будь которых измерений.

После замены сменных в ( 31) получим следующую формулу для искомой достоверности:

P{x1 2) = = (33)

Для более наглядного представления относительно нормированной нормальной интегральной функции распределения на рис.10. приведенная эта функция , которая вычислена в программе Mathcad

 

 

 

 


 


Рис..10

 

 

Интегралы, которые определенные в квадратных дужках не исчисляются в элементарных функциях и их вычисляют с помощью так называемого нормированного нормального расспределения с дифференциальной функцией :

p(t) = (34)

График этой функции , построенный с помощью программы Mathcad приведенный на рис.11

 

Мал.11

При ручном образе вычислений пользуются специальными таблицами табулированных дифференциальной и интегральной функций нормального распределения. Интегральная функция нормального распределения определяется как:

 

Φ(z) = (35)

Достоверность, определенную за формулой ( 35) с помощью функции Ф(z) вычисляют за следующей формулой :

P { x1 < X ≤ x2 } = Ф(t2 ) – Ф (t1) = - (36)

( При применении фомулы (35) необходимо осознавать , что верхняя граница интегрирования z тождественная фиксированному значению нормированной сменной t.

Применяя формулу (36) надо иметь в виду тождественность :

Ф(z) ? 1 - Ф( - z ) (37)

Квантилы (функции , обратные к функциям распределения).

В приложениях часто бывает необходимо для заданного значения достоверности α найти те значения х, при которых выполняется равенство G(х)= α. Это значения х называют "квантилем" , что отвечает уровню достоверности α , или коротко — α- квантилем распределения. Чтобы вычислить

α – квантиль , необходимо знать функцию, обратную к функции данного распределения Обратные функции распределения достаточно полно реализованные в Маthcad и безупречно работают при численном определении квантилей . Однако при вычислении квантилей нужно учитывать следующее обстоятельство:

При использовании функций, обратных к функциям распределения, нужно точно соблюдать порядок аргументов. Поскольку иногда они могут иметь два параметра, которые обозначают достоверность (например, для биномиального распределения). Достоверность α, для которой определяется квантиль, всегда является первым аргументом обратной функции распределения. После нее указывается остальные параметры, которые характеризуют данное конкретное распределение.

Отличие в именах функций распределения и обратных к ним функций. как и раньше, состоит в первой букве идентификатора функции. В обратных функциях первая буква имени — это q (quantil) вместо г. Так для нормального распределения функции , которая обозначается как pnorm(x,μ,σ) обратная функция имеет вид qnorm(α, μ, σ) . В качестве примера на рис.12 приведенный порядок определения квантиля xр по заданной функции распределения F(x).

 

Рис.12.

Случайные новости

1.4.2 Логические элементы ТТЛ с открытыми коллекторами

Несмотря на то, что базовые элементы ТТЛ имеют сравнительно высокое быстродействие, малые входные и большие выходные токи, хорошо работают на емкостную нагрузку, но имеют недостатки. У них происходит кратковременное увеличение потребляемой мощности в преходные процессы (т.е. переключения), при одновременном переключении большого количества ЛЭ. Броски тока в цепи питания достигают несколько единиц или десятков ампер. Хотя это частично устраняется путем установки в цепи питания отдельных конденсаторов большой емкости, компенсирующие эти кратковременные броски тока, чем обеспечивается уменьшение взаимосвязей (взаимовлияния) ЛЭ по цепям питания.

Кроме больших токов при одновременном переключении такие ТТЛ имеют небольшие значения выходного сопротивления, что затрудняет объединение между собой выходы нескольких ЛЭ т.к. в случае разных выходных сигналов через выходные VT будут протекать большие токи. Поэтому у них на выходе устанавливают VTЗ коллекторная цепь которого оставлена свободной (рисунок 1.10).

 

Рисунок 1.10 – Схема элемента ТТЛ с открытым коллектором (а), управление нестандартной нагрузкой (б), параллельное соединение выводов (в)

 

ЛЭ с открытым коллектором (рисунок 1.10, а) могут работать на нетиповую нагрузку (реле, дроссель, обмотка трансформатора, индикаторной лампе, питаемой от UИП и др.) (рисунок 1.10, б), и включаться параллельно по выходам (рисунок 1.10, в).

Параллельное включение выходов с открытым коллектором показано на рисунке 1.10, в. Стандартные элементы ТТЛ со сложными выходными инверторами нельзя соединять параллельно по выходам, так как при различных логических состояниях из-за малых выходных сопротивлений элементов в выходных цепях развились бы недопустимо большие токи, а логическое состояние общего выхода было бы неопределенным. Элементы с открытым коллектором допускают параллельное соединение выходов с общим нагрузочным резистором св. В данном случае относительно сигналов на базах выходных транзисторов выполняется операция , а элементы с открытым коллектором могут использоваться и для поочередной работы на общую линию в режиме разделения времени; для этой цели разработаны специальные элементы с тремя состояниями выхода: «1», «0» и «отключено» (отключающиеся от нагрузки), обеспечивающие более высокое быстродействие.

В состоянии «отключено» выход элемента не потребляет и не отдает тока в нагрузку. Если в каждый момент времени лишь один из подключенных к магистральной шине элементов активен, а все остальные отключены, то обеспечивается нормальный режим разделения времени.

При использовании такой ИМС (ЛЭ) открытый коллектор (рисунок 1.11, а) соединяется с источником напряжения через нагрузочное сопротивление Rсв (рисунок 1.11, б) или через обмотку реле (рис. 1.11, в), светодиод, лампу накаливания (рис. 1.10, б) и т.д.

Открытый коллектор позволяет непосредственно подключать несколько ЛЭ (ИМС) и образовывать дополнительную логическую функцию – монтаменое И. Наличие открытого вывода для положительной логики: открытого коллектора для n-р-n VT; открытого эмиттера для р-n-р VT; у МОП- транзисторов у стока для n-канала; у истока для р-канала и для отрицательной логики все наоборот.

 

 

 

Рисунок 1.11 – Схемы включения ЛЭ ТТЛ с открытым коллектором

 

1.4.3 ЛЭ ТТЛ с расширителями

Для расширения функциональных возможностей ЛЭ выпускаются ЛЭ, выполняющие все три логические операции И-ИЛИ-НЕ, что достигается с использованием расширителей.

В таких сериях ТТЛ использует элемент И-ИЛИ-НЕ (рисунок 1.12). В этом элементе вместо транзистора VТ2 основного элемента И-НЕ включены параллельно два транзистора (VТ2 и VТ3), управляемые от двух МЭТ (VТ1 и VТ4).

В такой схеме относительно сигналов Z? и Z?? выполняется операция ИЛИ-НЕ, а схема в целом реализует операцию

 

 

Входы 1 и 2 предназначены для подключения расширителя (рисунок 1.12, б). Расширители используются, когда у базового элемента число входов по ИЛИ оказывается недостаточным для построения логической цепи. Расширитель подключается выводами 1 и 2 параллельно транзисторам VТ2 и

Рисунок 1.12 – Схема элемента ТТЛ типа И-ИЛИ-НЕ (а), расширителя по ИЛИ (б), фрагмент схемы, воспроизводящей сумму по модулю 2 (в)

 

VТ3 элемента И-ИЛИ-НЕ. Группа входов, принадлежащих расширителю, образуют конъюнкцию, которая добавляется к логической сумме конъюнкций, вырабатываемой элементом без расширителя. Это называется расширением по ИЛИ. Поскольку расширитель подключается к внутренним точкам элемента, имеющим повышенную чувствительность к помехам, соединительные проводники должны иметь минимальную длину.

В некоторых сериях ТТЛ предусмотрены специальные элементы для выполнения операций И, ИЛИ и суммирования по модулю 2, (рисунок 1.12, в).

Элемент И содержит дополнительный инвертирующий транзистор перед выходным каскадом, элемент ИЛИ подобен элементу И-ИЛИ-НЕ, в котором вместо МЭТ включены обычные транзисторы, а идея построения элемента суммирования по модулю 2 видна на рисунке 1.12, в, где показан фрагмент схемы, иллюстрирующий логику ее работы. Воспроизводится инвертированная сумма по модулю 2 для двух переменных.

Как видно на рисунке 1.12, в напряжения на участках база–эмиттер транзисторов VТ1 и VТ2 определяются выражениями:

 

 

Если , то напряжения и близки к нулю, и оба транзистора заперты, а с выхода снимается высокий уровень потенциала. При и напряжение .Транзистор VТ1 насыщен и с выхода снимается низкое напряжение . Т.о., элементом действительно реализуется операция

.

 

© 2019
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру