вход Вход Регистрация



Эта задача является отдельным случаем статистического задачи нахождений оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки — ряда значений, которые принимаются этой величиной в п независимых наблюдениях.

Оценку параметра а назовем точечной, если она определяется одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании исследовательских данных, есть их функцией и потому самая должна быть случайной величиной с распределением, зависимому от распределения начальной случайной величины, в том числе и от самого оцениваемого параметра, и от числа наблюдений n.

К точечным оценкам выдвигается ряд требований, которые определяют их пригодность для описания самых параметров.

1. Оценка называется способной, если при увеличении числа наблюдений она приближается (сходится по достоверность) к значению оцениваемого параметра.

2. Оценка называется несмещенной, если ее математическое
ожидание равняется оцениваемому параметру.

3. Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

Полученная в результате многоразовых наблюдений информация о действительном значении измеренной величины и рассеяния результатов наблюдений составляется из ряда результатов отдельных наблюдений (ряда наблюдений) Х12; ...; Хn, где n- количество наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одним и тем же распределением, совпадающему с распределением Fx(x). Поэтому

М [Хi] =М [X]; D [Xi] = D[X]; i = 1,2..,г.

В этих условиях в качестве оценки истинного значения измеренной величины естественно принять среднее арифметическое полученных результатов наблюдений:

(38)

Будучи вычисленным на основе ограниченного числа опытов, среднее арифметическое именно является случайной величиной и его математическое ожидание:

M[ ] = =M[X] (39)

Это означает, что среднее арифметическое является несмещенной оценкой действительного значения. Однако несмещенными будут и все другие оценки типа:

если . Покажем, что среди всех определенных таким образом оценок среднее арифметическое имеет наименьшую дисперсию.

Для этого вычислим дисперсию :

Но квадратичная форма достигает минимума, если все ai одинаковые и равняются . Тогда по оценке мы получаем среднее арифметическое , которое поэтому является эффективной оценкой с дисперсией

(40)

Таким образом, дисперсия среднего арифметического оказывается в n раз меньше дисперсии результатов наблюдений, или в сроках среднего квадратичного отклонения:

(41)

то есть среднее квадратичное отклонение среднего арифметического в раз меньше за среднее квадратичное отклонение результата наблюдений. По мере увеличения числа наблюдений приближается к нулю. Это означает, что среднее арифметическое ряду наблюдений сходится за достоверностью к математическому ожиданию и есть его способной оценкой.

Логическим следствием определения истинного значения измеренной величины как среднего арифметического ряда наблюдений есть оценка фактических значений случайных погрешностей случайными отклонениями результатов наблюдений от среднего арифметического:

vi =Xi - (42)

По мере увеличения числа наблюдений распределение случайных отклонений результатов наблюдений асимптотично сходится к распределению случайных погрешностей.

Как точечную оценку дисперсии случайной погрешности естественно выбрать величину

= vi2 = (Xi - )2

Эта оценка способная и эффективная, однако она немного смещена, поскольку ее математическое ожидание составляет

M[ ]=

Поэтому точечную оценку дисперсии принято определять как

s2x = (Xi - )2 (43)

а оценку среднего квадратичного отклонения результатов

наблюдений как

sx = (44)

Эта оценка характеризует сходимость результатов отдельных наблюдений, то есть степень их концентрации относительно среднего арифметического. Последнее, будучи случайной величиной, имеет дисперсию, в n раз меньшую дисперсии случайной погрешности (40). Поэтому как точечная оценка дисперсия среднего арифметического определяется как:

s2 = sx = vi2 (45)

где sx — среднее квадратичное отклонение результата наблюдений.

Полученные оценки (38 ) ,(45) позволяют записать итог измерений в виде

Q = ±s . (46)

Интервал, который определяется правой частью этого уравнения , с некоторой достоверностью «накрывает» действительное значение Q измеренной величины. Однако точечные оценки ничего не говорят о значении этой достоверности поскольку дисперсия остается неизвестной.

 

Случайные новости

6.2 Структурные схемы САУ и их преобразование

Графическое изображение, которое показывает по каким типовых динамических звеньев состоит САУ и как они соединены между собой, называется структурной (алгоритмической) схеме САУ. Она является математической моделью системы и отражает ее динамические свойства. Изображение САУ структурными схемами дает возможность получить общую методику исследований для всех систем независимо от их конструкции, физической природы и т.д.
Динамические звенья на структурных схемах изображаются прямоугольниками, внутри которых записываются их передаточные функции. Отдельные прямоугольники соединяются линиями со стрелками, показывающими направление прохождения сигналов. Динамические звенья могут не совпадать с конструктивными элементами САУ, исходя из того, что типичное динамическое звено должно описываться дифференциальным уравнением не выше второго порядка.
На рис. 6.10 изображена, например, структурная схема САУ с температурой в термостате рис. 1.4, где WПП (Р) - передаточная функция (ПФ) усилителя - преобразователя, WВП (Р) - ПФ исполняющего устройства, WКО (p) - ПФ управляющего органа (устройства), WОУ (p) - ПФ объекта управления (термостат с нагревателем), WВЕ (p) - ПФ измерительного элемента температуры в термостате, ЭП - элемент сравнения заданной и фактической температур, L - возмущения (изменение напряжения питания и т.п.).


Рис. 6.10 Структурная схема САУ термостатом.

На рис. 6.11 изображена структурная схема стабилизатора напряжения рис. 3.3, где W1 (p) - ПФ усилителя (VT2, R1), W2 (p) - ПФ управляющего органа (VT1), W3 (p) - ПФ делителя напряжения (R3, R4), ЭП - элемент сравнения с выхода делителя напряжения и эталонного напряжения (UЭТ = UVD1) L - возмущения (изменение входного напряжения стабилизатора, тока нагрузки и т.д.).

Рис. 6.11 Структурная схема электронного стабилизатора напряжения.

На рис. 6.12 изображена структурная схема стабилизатора напряжения электромеханического генератора постоянного напряжения рис.3.4, где W1 (p) - ПФ соленоида совместно с резистором R (апериодического звена), W2 (p) - ПФ преобразователя перемещения якоря соленоида в напряжение питания маломощного исполняющего двигателя МВД (пропорциональная звено), W3 (p) - ПФ МВД (интегрирующее звено), W4 (p) - ПФ редуктора (пропорциональная звено), W5 (p) - ПФ преобразователя угла поворота вала редуктора в сопротивление резистора Rб (пропорциональная звено), W6 (p ) - ПФ обмотки возбуждения ОС генератора совместно с резистором Rδ (апериодического звена), W7 (p) - ПФ генератора с учетом маховых масс, но без обмотки возбуждения (колебательная звено), ЭП - элемент сравнения тяговых усилий пружины и якоря соленоида, которое пропорциональное выходном напряжении генератора, L - возмущение (переменная скорость вращения якоря генератора, тока нагрузки и т.д.).


Рис. 6.12 Структурная схема стабилизатора напряжения электромеханического генератора.

В этой схеме электромеханический генератор представлен двумя звеньями: W6 (p) и W7 (p).
При анализе и синтезе САУ возникает задача свертывания - получение общей передаточной функции САУ WΣ (p) по передаточным функциям ее звеньев. При этом используют следующие правила преобразований.
6.2.1 Передаточная функция последовательного соединения звеньев.
Передаточная функция последовательного соединения звеньев рис. 6.13 равна произведению передаточных функций звеньев, входящих в это соединение.

Рис. 6.13 Последовательное соединение звеньев

(6.42)
6.2.2 Передаточная функция параллельного соединения звеньев.
Передаточная функция параллельного соединения звеньев рис.6.14 равна сумме передаточных функций звеньев, входящих в соединение.

Рис. 6.14 Параллельное соединение звеньев

(6.43)
6.2.3 Охват звена обратной связью.
Обратной связью называется цепь передачи деяний с выхода звена (системы) на ее вход.
Обратная связь бывает отрицательным и положительным. При отрицательной обратной связи деяния Х1 (г), поступающего на вход звена, равной разнице воздействий, а при положительном - их сумме.


Рис. 6.15 Ланка охвачена обратной связью

`(6.44)

Передаточная функция звена, охваченного обратной связью:
(6.45)
где знак "+" соответствует отрицательному, а "-" - положительной обратной связи. Если в обратной связи отсутствует какая-либо звено, то есть имеет место единичный связь W33 (p) = 1, то:
(6.46)
6.2.4 Перенос действия со входа на выход звена.
Внешнее действие F (p) или сумматор можно перенести со входа звена на ее выход согласно рис.6.16.


а) имеем б) можно заменить
Рис. 6.16 Перенос действия со входа на выход


6.2.5 Перенос действия с выхода на вход звена.
Внешнее действие F (p) или сумматор можно перенести с выхода на вход звена согласно рис.6.17.


а) имеем б) можно заменить
Рис. 6.17 Перенос действия с входа на выход

6.2.6 Перенос разветвления (узла) со входа на выход звена.
Разветвления можно перенести со входа звена на ее выход согласно рис.6.18


а) имеем б) можно заменить
Рис. 6.18 Перенос разветвления со входа на выход

6.2.7 Перенос разветвления по выходу на вход звена.
Разветвления можно перенести с выхода звена на ее вход согласно рис.6.19


а) имеем б) можно заменить
Рис. 6.19 Перенос разветвления по выходу на вход звена

6.2.8 Примеры преобразований структурных схем САУ.
1. Найти передаточную функцию системы, структурная схема которой изображена на рис.6.20. В этой системе звено W1 (p) охвачена отрицательной обратной связью через звено W3 (p), тогда передаточная функция такого соединения согласно (6.45).

Рис. 6.20 Структурная схема системы І

(6.47)
Звено W2 (p) и W4 (p) соединении параллельно, тогда согласно (6.43):
(6.48)
Звена W1, 3 (p) и W2, 4 (p) соединении последовательно, тогда согласно (6,42) передаточная функция системы:
(6.49)
2. Найти передаточную функцию системы, структурная схема которой изображена на рис.6.21.

Рис. 6.21 Структурная схема системы ІІ.

Это схема с перекрестными связями. Чтобы упростить структуру их необходимо убрать. Для этого перенесем разветвления по входу звена W2 (p) на ее выход согласно правила 6.2.6. Звена W1 (p) и W2 (p) соединении последовательно и охвачены отрицательной обратной связью через звено W5 (p). Тогда их передаточная функция:
(6.50)
Звено W4 (p) и заново введена согласно правила 6.2.6 звено соединении последовательно, а их передаточная функция:
(6.51)
Последнее звено соединения параллельно с звеном W3 (p), а их передаточная функция:
(6.52)
Звена W2, 3,4 (p) и W1, 2,5 (p) соединении последовательно, поэтому передаточная функция схемы рис.6.21.
(6.53)


 

 

 

 

 

 

 

© 2019
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру