вход Вход Регистрация



8.Определение достоверности с помощью интервалов.

Смысл оценки параметров с помощью интервалов состоит в нахождении интервалов, званых доверительными, между границами которых с определенной (доверительной) достоверностью находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Сначала остановимся на определении доверительного интервала для среднего арифметического значения измеренной величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений нормальный и известная дисперсия σ2х . Тогда, считая в уравнении (32)

t1 = —t2 = tp найдем достоверность попадания результата наблюдений в интервал

х— tp σx ; тх + tpσx). Согласно формулам (36) и (37)

Р{тх — tp σ x < X ≤ тх + tр σx } =

= Ф (tp) – Ф (- tp) = 2Ф (tp) - 1.

но

Р {тх— tp σ x <Xтх +tp σ x} =

= Р{Х - tp σ x ≤ Q <X+ tp σ x}

и, если систематические погрешности исключены х = Q), то

Р{Х- tp σ x ≤Q< X + tpσ x} =(tp) -.1 (47)

Это означает, что действительное значение Q измеренной величины с доверительной достоверностью

Р = 2Ф(tp)— 1 находится между границами доверительного интервала

[ Х- tpσ x;X + tpσx].

Половина длины доверительного интервала tpσ x называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной достоверности Р. Для определения доверительной границы ( при выполнении перечисленных условий) задаются доверительной достоверностью ( при пользовании традиционными образами расчетов) , например

Р = 0,95 или Р = 0,995,

и за формулой:

2Ф (tp) -1 = P;

Ф (tp) = (48)

определяют соответствующее значение Ф(tp) интегральной функции нормированное нормального распределения. Потом по данным соответствующих таблиц . находят значение коэффициента tp и

вычисляют доверительное отклонение tpσ x.

При использовании пакету Mathcad для определения доверительного интервала погрешности измерения за заданной достоверностью Р послуживаются обратной функцией распределения (квантилями) .Если случайная погрешность распределена по нормальному закону , то используется функция qnorm (α,μ,σ). где α –заданная достоверность ; μ – математическое ожидание или истинное значение измеренной величины ; σ – среднее квадратичное отклонение. Благодаря возможностям пакету Mathcad появляется возможность определять не только конкретные точечные вычисления но и проследить функциональные зависимости параметров друг от друга. На рис.13 приведенные графика функций квантиля t(α) от изменения заданной достоверности α при неизменных μ и σ а также t(σ) от изменения σ при неизменных

 


Рис.13

 

При пользовании пакетом Mathcad необходимо взвешивать на то , что в функциях распределения применяется не нормированные (относительные) аргументы а непосредственно измерены величины .

Проведение многоразовых наблюдений позволяет значительно сократить доверительный интервал. Действительно, если результаты наблюдений Xi (i = 1, 2 ..., п) распределенные нормально, то нормально распределенные и величины Xi, а значит и среднее арифметическое ,,что есть их суммой. Поэтому имеет место уравнения:

Р { — tp ≤ Q < + tp }= =P{ -tp ≤ Q < + tp } = 2Ф(tp)-1, (49)

где tp определяется как и раньше формулой (48) за заданной доверительной достоверностью Р.

Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического

результатов п независимых повторных наблюдений, в раз короче за интервал, вычисленный за результатом одного наблюдения, хотя доверительная достоверность для них одинаковая. Это говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из количества наблюдений.

Половина длины нового доверительного интервала

δр = tp (50)

называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде:

Q = ± δ P; Р = ... 0/0. (51)

© 2018
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру