вход Вход Регистрация



Использование формул функций нормального распределения есть корректным , если аргумент выше указанных функций является беспрерывной величиной. Это означает, что расстояние между соседними измерениями есть бесконечно малыми и нуждается в бесконечном количестве наблюдений n . Для определения среднего квадратичного отклонения σ мы должны решить уравнение:

В случае же когда дисперсия или среднее квадратичное отклонение σ являются заданными , то для обсчитывания доверительных интервалов при заданных доверительных вірогідностях мы можем применять выше приведенные формулы (35,36) для нормированной функции нормального распределения при конечном числе n.

В случае , если нам известные только количество n наблюдений и их величины x1, ..xn , так называемая выборка , то по нее найти дисперсию D[X] мы не сможем. За выборкой мы сможем найти только точечную дисперсию , которую обозначим s2X и определим ее как :

(52)

где среднее арифметическое значение измеренной величины:

(53)

Переходя от точечной дисперсии отдельного наблюдения к точечной дисперсии среднего арифметического с учетом количества наблюдений n имеем:

;

Используя (32) с учетом числа выборки n , получим

= ; (54)

Полученная случайная величина (54) уже не будет иметь стандартное нормальное распределение!

 

Мал.14
n =5

n = 15
Впервые глубоко исследовало распределение величины t Уільям Госсет . Это исследования он опубликовал под псевдо Student и потому распределение величины t вошел в историю как t-распределение Стьюдента или дробью Стьюдента.Он зависит как от параметру, от количества наблюдений n или от числа ступеней свободы k = n-1 . При n —>∞ t - распределение Стьюдента переходит к стандартному нормальному , что отображенное на рис.14 , построенный с помощью Mathcad. На рис.14 обозначенные: dnorm(x,μ,σ) - дифференциальная функция нормального распределения; dt(x,n) –дифференциальная функция распределения Стьюдента;

 

 

Уравнение плотности распределения дроба Стьюдента имеет следующий вид:

 

 

; (55)

где S(t,k)- плотность распределения Стьюдента. Достоверность того. что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений приобретет некоторое значение в интервале (-tp; + tp ] , исчисляется по формуле:

P{-tp <t ≤ + tp } = ;

или поскольку S(t,k) является парной функцией аргумента t , то

P{-tp <t ≤ + tp }) =2 ; (56)

Случайные новости

7.Точечные оценки истинного значения измеренной величины при ограниченному количеству (выборки) наблюдений

Эта задача является отдельным случаем статистического задачи нахождений оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки — ряда значений, которые принимаются этой величиной в п независимых наблюдениях.

Оценку параметра а назовем точечной, если она определяется одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании исследовательских данных, есть их функцией и потому самая должна быть случайной величиной с распределением, зависимому от распределения начальной случайной величины, в том числе и от самого оцениваемого параметра, и от числа наблюдений n.

К точечным оценкам выдвигается ряд требований, которые определяют их пригодность для описания самых параметров.

1. Оценка называется способной, если при увеличении числа наблюдений она приближается (сходится по достоверность) к значению оцениваемого параметра.

2. Оценка называется несмещенной, если ее математическое
ожидание равняется оцениваемому параметру.

3. Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

Полученная в результате многоразовых наблюдений информация о действительном значении измеренной величины и рассеяния результатов наблюдений составляется из ряда результатов отдельных наблюдений (ряда наблюдений) Х12; ...; Хn, где n- количество наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одним и тем же распределением, совпадающему с распределением Fx(x). Поэтому

М [Хi] =М [X]; D [Xi] = D[X]; i = 1,2..,г.

В этих условиях в качестве оценки истинного значения измеренной величины естественно принять среднее арифметическое полученных результатов наблюдений:

(38)

Будучи вычисленным на основе ограниченного числа опытов, среднее арифметическое именно является случайной величиной и его математическое ожидание:

M[ ] = =M[X] (39)

Это означает, что среднее арифметическое является несмещенной оценкой действительного значения. Однако несмещенными будут и все другие оценки типа:

если . Покажем, что среди всех определенных таким образом оценок среднее арифметическое имеет наименьшую дисперсию.

Для этого вычислим дисперсию :

Но квадратичная форма достигает минимума, если все ai одинаковые и равняются . Тогда по оценке мы получаем среднее арифметическое , которое поэтому является эффективной оценкой с дисперсией

(40)

Таким образом, дисперсия среднего арифметического оказывается в n раз меньше дисперсии результатов наблюдений, или в сроках среднего квадратичного отклонения:

(41)

то есть среднее квадратичное отклонение среднего арифметического в раз меньше за среднее квадратичное отклонение результата наблюдений. По мере увеличения числа наблюдений приближается к нулю. Это означает, что среднее арифметическое ряду наблюдений сходится за достоверностью к математическому ожиданию и есть его способной оценкой.

Логическим следствием определения истинного значения измеренной величины как среднего арифметического ряда наблюдений есть оценка фактических значений случайных погрешностей случайными отклонениями результатов наблюдений от среднего арифметического:

vi =Xi - (42)

По мере увеличения числа наблюдений распределение случайных отклонений результатов наблюдений асимптотично сходится к распределению случайных погрешностей.

Как точечную оценку дисперсии случайной погрешности естественно выбрать величину

= vi2 = (Xi - )2

Эта оценка способная и эффективная, однако она немного смещена, поскольку ее математическое ожидание составляет

M[ ]=

Поэтому точечную оценку дисперсии принято определять как

s2x = (Xi - )2 (43)

а оценку среднего квадратичного отклонения результатов

наблюдений как

sx = (44)

Эта оценка характеризует сходимость результатов отдельных наблюдений, то есть степень их концентрации относительно среднего арифметического. Последнее, будучи случайной величиной, имеет дисперсию, в n раз меньшую дисперсии случайной погрешности (40). Поэтому как точечная оценка дисперсия среднего арифметического определяется как:

s2 = sx = vi2 (45)

где sx — среднее квадратичное отклонение результата наблюдений.

Полученные оценки (38 ) ,(45) позволяют записать итог измерений в виде

Q = ±s . (46)

Интервал, который определяется правой частью этого уравнения , с некоторой достоверностью «накрывает» действительное значение Q измеренной величины. Однако точечные оценки ничего не говорят о значении этой достоверности поскольку дисперсия остается неизвестной.

 

© 2019
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру