вход Вход Регистрация



Как вытекает из центральной предельной теоремы, распределение случайных погрешностей будет близким к нормальному каждому разу, когда результаты наблюдений будут формироваться под влиянием большого количества независимых факторов, каждый с которых взыскивает лишь незначительное влияние сравнительно с суммарным влиянием других. Такая ситуация по определению есть характерной для описания случайных погрешностей при метрологических операциях и применение функции нормального распределения для обработки результатов измерений есть достаточно продуктивным. В то же время при получении результатов наблюдений при измерениях не является очевидным тот факт, что закон их распределения есть нормальным. Поэтому задача проверки результатов измерений относительно возможности применения функции нормального распределения есть весьма актуальной.

На данное время при достаточно большому количеству наблюдений (n > 40) одним из распространенных образов есть построение гистограммы распределения наблюдений со следующим сравнением ее с теоретической кривой функции нормального распределения. При сравнимые важным есть рациональный выбор вида функции – интегральной или дифференциальной. Из математического анализа известно, что при интегрировании функции сглаживаются , при дифференцировании наоборот их особенности проявляются более сильно, поэтому график плотности распределения р(х) несет больше информации о виде распределения , чем интегральная функция распределения F(x).

Для проверки правильности выводов применяются так называемые критерии согласования .

К наиболее употребляемым нужно отнести два критерия:

- критерий согласования Колмогорова;

- критерий согласования Пирсона;

При применении критерия Колмогорова сравнивается максимальное по модулю различие между теоретическим и полученным распределением:

; (64)

где F*(x) исследуемая функция , F(x) –теоретическая функция распределения.

Теорема Гливенка – Кантели утверждает ,что D с увеличением объема выборки сбегает по достоверности до 0.Если принять, что при падении D к нулю за зависимостью ( по Колмогорову):

Λ = D ; (65)

где Λ-случайная величина , то при достаточно больших n закон распределения Λ вообще не зависит от закона распределения генеральной совокупности Х.

За теоремой Колмогорова для любого беспрерывного закона распределения генеральной совокупности Х функция распределения случайной величины Λ при достаточно больших n имеет вид :

( 66)

 

Условием принадлежностей данных исследования к генеральной совокупности теоретической функции распределения F(x) есть вычисленная за формулой (66) реализация λ случайной величины Λ на уровне значимости q, которая должна принадлежать к квантильной границы распределения Колмогорова.

В критерии согласования Пирсона сравниваются между собой теоретические и эмпирические числа попаданий в интервалы. Интервалы могут быть любыми, лишь бы теоретическое количество попаданий к каждому из них была не меньше 5. Эмпирические числа попаданий в них nj берутся с гистограммы. Каждое nj сравнивается с теоретическим числом попаданий в этот интервал j , где рj достоверность попадания величины Х в j-и интервал.

;

aj , bj –границы j-го интервала. К.Пирсон довел , что если все j ≥ 5 , итоговое квадратичное относительное различие между теоретическим и эмпирическим количеством попаданий к каждому интервалу определяется формулой:

(67)

и имеет приблизительно χ2 – распределение Пирсона с k – m степенями свободы , где m – число ограничений , которое равняется числу параметров избранного распределения плюс 1 .

Если эмпирические и теоретические числа принадлежат к одной генеральной совокупности , то величина (67) действительно должна иметь χ2 распределение и ее измеренное значение должно приняться в соответствующих квантильных границах. Теоретическое распределение можно считать подобранным правильно на уровне значимости q , если величина (67) будет не очень большой , вместо того должна выполняться условие:

 

χ21-q (k-m). (68)

Если число наблюдений меньше сорока, то для проверки нормальности распределения можно воспользоваться понятием статистической функции распределения результатов наблюдений. Для ее построения получены в процессе эксперимента результаты группируют в так называемый

вариационный ряд Х(1); Х(2),...; Х(n) , члены которого располагаются в порядке их рост, так что всегда Х(1),. ≤Х(2) ≤….≤X(n) . Статистическую функцию распределения Fn(xk) определяют за формулой:

k = 1,2,…,n (69)

Fn(x) есть ступенчатая линия , соседние значения которой отвечают значениям членов вариационного ряда. Каждый прыжок равняется , если все п членов ряда резни. Если же для некоторого k X(k) = X(k+1) , = ... = X(k+1) ), то Fn (x) в точке х = X(k) возрастает на , где i-число равных между собой членов ряда.

Если число наблюдений беспредельно увеличивать, то статистическая функция распределения сходится по вероятности к истинной функции Fx(x).

Для проверки нормальности распределения результатов наблюдений находят значение zk

как оборотной функции относительно интегральной функции нормального распределения Ф(zk). При этом в качестве аргумента принимаются соответствующие значения Fn(xk) статистической функции распределения.

Φ(zk) = Fn(xk).

При выполнении ручных расчетов небольшого объема а также с учебной целью пользуются таблицами нормированных функций распределения . В то же время , как отмечалось выше, существуют мощные пакеты программ для бизнес, инженерных и научных расчетов (Мathcad , Excel , Matlab ) , в состав которых входит большой объем статистических функций. В связи с этим при проверке нормальности распределения с использованием , например, программы Mathcad zk находят как квантиль функции qnorm( p,μ,σ). Но недостатком применения этой функции есть необходимость предыдущего знания кроме заданной достоверности р ( как значения членов вариационного ряда Fn(xk) ) еще и величин μ и σ. В то же время известно , что функция распределения Стьюдента и ее обратная функция qt(p,k) при увеличении k приближается к функции нормального распределения но в то же время для определения функции распределения Стьюдента необходимо знать только заданную достоверность р и число степеней свободы k . В качестве примера для сравнения приведем значение квантилов, высчитанных за выше обозначенных условий.

 

Сменная zk(Xk) определяется через результаты наблюдений как

что при неизменных mx и σx является прямой линией и если в координатах z ; х нанести точки zk; xk, то при нормальном распределении они должны также расположиться в течение одной прямой линии с каким-то разбросом. Если же в результате такого построения выйдет некоторая кривая линия, то гипотезу о нормальности распределения придется отвергнуть как такую , что противоречит исследовательским данным.

Вопрос о том, насколько зависимость z(x) может отвергаться от линейной только в случае влияния случайных факторов , решается методами непараметрического статистического оценивания.

Пример 5. Ниже приведенный пример проверки нормальности распределения величины сопротивления партии резисторов . Расчеты проводились с помощью программ Excel и Mathcad.

В таблице Excel приведенные результаты измерений(Ri) , результаты расчетов квантиля интегральной функции нормального распределения (Zi) , , которые определялись по формуле. На диаграмме построенная также линия тренда (линейная ) , возле которой расположенные точки Zi. Как видно из графику , разброс точек небольшой и полученный результат наблюдений можно отнести к нормальному распределению. С помощью программы Mathcad были рассчитаны квантили обратной функции qt(p,k) , где р - заданная достоверность, которая рассчитывается как статистическая функция Fn(xk) ) , k –достаточно большое число (10000)

Случайная статья

Приложение Ж

Генераторы Вариант Тип схемы fг,   [кГц...
© 2017
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру