вход Вход Регистрация



Характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического регулирования

 

 

может быть использованное для формулирование другого критерия стойкости - критерия Михайлова. Сделаем в характеристическом уравнении замену р на . В результате подстановки получим функцию комплексной сменной

,

которая является вектором в комплексной плоскости .

При изменению величины от 0 до вектор будет поворачиваться против часовой стрелки ( то есть в позывном направлении) возле начала координат, меняя одновременно и свою длину. Этот вектор называют вектором Михайлова.

Система, которая описана линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, будет стойка, если годограф вектора Михайлова при изменению от 0 до обходит последовательно . в положительном направлении, нигде не обращая в нуль " " квадрантов, где - порядок характеристического уравнения системы (рисунок 3.5), то есть поворачивается на угол, равный . Если годограф вектора Михайлова проходит через 0 (рисунок 3.5, б), не заходя в очередной квадрант, то система на частоте, которая отвечает прохождению вектора через 0, находится на границе стойкости.

При нарушении указанного высшее обращение вектора система неустойчивая(рисунок 3.5, в). Из критерия Михайлова вытекает, что необходимым и достаточным условием стойкости линейной системы есть наличие у полиномов и действительных корней и их перемножение (рисунок 3.6, а). Действительное при , а . Дальше при , принимает положительное значение, а принимает нулевое значение. Еще при повороте на угол должно принять нулевое значение, а принять какое-то отрицательное значение. Ведь корни должны располагаться между корнями . Если корни и совпадают то годограф проходит через начало координат и система находится на границе стойкости.

а- стойких систем;

бы- системы на границе стойкости;

у- неустойчивых систем;

Рисунок 3.5 - Годограф вектора Михайлова

а- стойких систем;

бы- системы на границе стойкости;

у- неустойчивых систем;

Рисунок 3.6 Графики функций и

Если корни и то система не стойкая.

а – система стойкая;

бы – система неустойчивая;

 

Рисунок 3.7 – Примеры годографов Михайлова

Рассмотрим несколько примеров исследования стойкости с помощью критерия Михайлова.

Характеристическое уравнение системы .

Таким образом имеем:

.

Соответственно и .

Нетрудно заметить, что годограф вектора последовательно проходит через четыре квадранта, не обращая в нуль (рисунок. 3.7, а), то есть система стойкая.

Применение как алгебраических критериев стойкости, так и критерия Михайлова требует знания коэффициентов уравнения, то есть самого уравнения системы. Применение этих критериев для исследования уравнений высоких порядков (выше пяти-шести) требует громоздких вычислений и навряд или удобно для практического использования.

 

Случайные новости

8.3 Критерий устойчивости Михайлова

Частотные критерии устойчивости базируются на использовании частотных характеристик. Основное преимущество частотных критериев устойчивости перед алгебраической критериям заключается в том, что частотные характеристики можно получить экспериментально, по которым сравнительно просто определить влияние того или иного параметра на устойчивость, а также каков переходный процесс системы. К ним относятся критерии Михайлова, Найквиста-Михайлова, логарифмический частотный.
Рассмотрим сначала критерий устойчивости Михайлова. Если в характеристическом уравнении замкнутой САУ заменить г на j, то получим функцию комплексного переменного
(8.13)
Эта комплексная переменная в полярных координатах представляет собой вектор A (), возвращен на угол φ () относительно положительной оси U () (рис.8.4).



а) б) в)
Рис 8.4 Характеристические кривые (АФЧХ) систем: устойчивых (а), на границе устойчивости (б), не устойчивых (в)

(8.14)
Конец этого характеристического вектора A () при изменении частоты от нуля до ∞ описывает кривую, называемую кривой Михайлова, годографом Михайлова, или характеристической кривой.
Формулируется критерий Михайлова так: замкнутая линейная САУ будет устойчивой, если характеристическая кривая замкнутой системы при изменении частоты от нуля до + ∞ проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не оборачиваясь в ноль, где n - степень характеристического уравнения замкнутой системы (рис.8.4).
Кривую строят по уравнению (8.13), (8.14), задавая последовательно значения и подсчитывая U () и V ().
В некоторых случаях проще воспользоваться следствием из этого критерия: для устойчивости системы необходимо, чтобы корни действительного U () и мнимого V () полиномов характеристического уравнения замкнутой системы чередовались. Это видно из рис.8.4а: характеристическая кривая при изменении от нуля до + ∞ будет обходить n квадрантов в положительном направлении, если U (0)> 0, V '(0)> 0 и в уравнениях U () = 0, V () = 0 все корни действительные, которые чередуются, т.е., если между двумя соседними корнями V () = 0 лежит один корень U () = 0.
Для примера рассмотрим САУ, характеристическое уравнение которой в замкнутом состоянии:
(8.15)
После подстановки jw вместо г получим:
(8.16)
Откуда
(8.17)
(8.18)
Для упрощения нахождения корней уравнения (8.17) сделаем замену 2 = a. Тогда получим:
(8.19)
Откуда,,,.
Аналогично в уравнении (8.18) заменим 2 на b, тогда:
(8.20)
Откуда,,,.
Корни воображаемого и действительного полиномов чередуются (), значит система устойчива.
Недостатком этого критерия является то, что получить АФЧХ замкнутой САУ иногда значительно труднее, чем разомкнутой.

© 2019
  • Сайт "Литературка"
  • мы собираем различную техническую, образовательную, научную литратуру